Какое наименьшее расстояние dmin между источниками позволяет диску не отбрасывать тень на экран? Ответ выразите

Sergey

44

Для того чтобы диск не отбрасывал тень на экран, должно выполняться условие, что лучи света, исходящие от источников света, не пересекаются за диском. Рассмотрим ситуацию, при которой расстояние между источниками равно d.

Пусть R - радиус диска, расстояние от источника света до центра диска равно r, а расстояние между источниками - d. Тогда, по определению, dmin - наименьшее расстояние между источниками, при котором диск не будет отбрасывать тень на экран.

Когда диск не отбрасывает тень на экран, лучи света, исходящие от источников, не пересекаются после прохождения через диск. Следовательно, треугольник, образованный центром диска и двумя источниками света, должен быть равнобедренным.

Рассмотрим этот треугольник. Он имеет особенность, что угол между радиусами диска, идущими к источникам, равен половине угла между источниками:

\[ \angle AOC = \frac{\angle AOB}{2} \]

Сводя эту задачу к геометрии, мы можем найти зависимость между d и R. Решив триангуляцию треугольника OAC, можно выразить d через R и r:

\[ d = 2r \tan(\frac{\angle AOB}{2}) \]

Теперь мы можем рассмотреть случай, когда диск не отбрасывает тень на экран. По условию задачи, мы знаем, что это наименьшее возможное расстояние между источниками, при котором заданный эффект достигается.

Таким образом, чтобы найти dmin, мы должны найти такое значение d, при котором диск не отбрасывает тень на экран. Это будет минимальное значение расстояния d, при котором условие равнобедренного треугольника выполняется.

Для определения dmin, возьмем \(\angle AOB\), равным 90 градусов (или \(\frac{\pi}{2}\) радиан), так как это значение угла делает треугольник равнобедренным. Подставляя это значение в уравнение, получаем:

\[ dmin = 2r \tan(\frac{\pi}{4}) = 2r \]

Таким образом, наименьшее расстояние между источниками, которое позволяет диску не отбрасывать тень на экран, равно двум радиусам диска (dmin = 2r). Для округления ответа до целого числа, следует измерить радиус диска в сантиметрах и удвоить его.

Я надеюсь, что эта подробная и обстоятельная информация позволит вам лучше понять основы геометрической оптики и решить задачу. Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать. Удачи вам!