Какое наименьшее значение имеет функция [tex]y=3x^{4} -10x^{3} +30[/tex]? Прошу выполнить до завтра, как можно скорее

Зимний_Ветер

40

Хорошо, рассмотрим данную математическую задачу.

Функция дана в виде \(y = 3x^4 - 10x^3 + 30\).

Чтобы найти наименьшее значение этой функции, нам нужно определить точку минимума. Для этого используем процесс дифференцирования.

Шаг 1: Найдем производную функции \(y\) по переменной \(x\).
Производная функции \(y\) будет равна производной каждого члена отдельно:
\[\frac{dy}{dx} = 12x^3 - 30x^2\]

Шаг 2: Решим уравнение для производной равное нулю, чтобы найти критические точки.
\[\frac{dy}{dx} = 12x^3 - 30x^2 = 0\]

Для решения этого уравнения, давайте вынесем общий множитель \(6x^2\):
\[6x^2 (2x - 5) = 0\]

Теперь у нас есть два решения:
\(x_1 = 0\) и \(x_2 = \frac{5}{2}\).

Шаг 3: Чтобы определить, является ли найденная точка минимумом или максимумом, мы должны проанализировать знак второй производной.

Возьмем вторую производную, продифференцировав первую производную:
\[\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx}(12x^3 - 30x^2) = 36x^2 - 60x\]

Шаг 4: Подставим найденные значения \(x_1\) и \(x_2\) обратно во вторую производную и определим их знаки.

При \(x = 0\):
\[\frac{d^2y}{dx^2} = 36 \cdot 0^2 - 60 \cdot 0 = 0\]

При \(x = \frac{5}{2}\):
\[\frac{d^2y}{dx^2} = 36 \cdot \left(\frac{5}{2}\right)^2 - 60 \cdot \frac{5}{2} = -75\]

Знак второй производной меняется от положительного к отрицательному при \(x = \frac{5}{2}\). Из этого следует, что точка \(\left(\frac{5}{2}, f\left(\frac{5}{2}\right)\right)\) является точкой минимума функции.

Шаг 5: Чтобы найти значение минимума функции, подставим \(x = \frac{5}{2}\) в исходную функцию \(y = 3x^4 - 10x^3 + 30\).

\[y = 3\left(\frac{5}{2}\right)^4 - 10\left(\frac{5}{2}\right)^3 + 30 = \frac{625}{16} - \frac{1250}{8} + 30 = -\frac{875}{16}\]

Наименьшее значение функции \(y\) равно \(-\frac{875}{16}\).

Таким образом, наименьшее значение функции \(y\) равно \(-\frac{875}{16}\).