Какое наименьшее значение имеет выражение 15(x^2-x+1)/(x^2+x+1)(x^2-x)^2?

Добрый_Лис

27

Чтобы найти наименьшее значение выражения \( \frac{{15(x^2-x+1)}}{{(x^2+x+1)(x^2-x)^2}} \), мы можем использовать метод дифференциального исчисления. Я скажу пошагово, как это сделать.

Шаг 1: Найдите производную выражения \( f(x) = \frac{{15(x^2-x+1)}}{{(x^2+x+1)(x^2-x)^2}} \).
Для начала, разложим знаменатель:
\[ (x^2+x+1)(x^2-x)^2 = x^4 + 2x^3 + x^2 - x^3 -2x^2 + x - x^2 -2x + 1 = x^4 + x^3 - 2x^2 - x + 1 \]

Теперь мы можем найти производную функции \( f(x) \). Упростим нашу функцию перед дифференцированием:
\[ f(x) = 15 \cdot \frac{{x^2-x+1}}{{x^4 + x^3 - 2x^2 - x + 1}} \]

Теперь найдём производную:
\[ f"(x) = 15 \cdot \frac{{(x^4 + x^3 - 2x^2 - x + 1) \cdot (2x-1) - (x^2 - x + 1) \cdot (4x^3 + 3x^2 - 4x - 1)}}{{(x^4 + x^3 - 2x^2 - x + 1)^2}} \]

После упрощения, получаем:
\[ f"(x) = \frac{{2x^5 - 4x^4 - 8x^3 + 12x^2 + 14x - 2}}{{(x^4 + x^3 - 2x^2 - x + 1)^2}} \]

Шаг 2: Найдите критические точки, где производная равна нулю или не существует.
Чтобы найти критические точки, приравняем производную к нулю и решим полученное уравнение:
\[ f"(x) = 0 \]
Проанализируем числитель:
\[ 2x^5 - 4x^4 - 8x^3 + 12x^2 + 14x - 2 = 0 \]
Мы можем решить это уравнение с помощью численных методов или методов анализа. Подставим значения в уравнение и найдём \( x_1 \approx -0.804 \) и \( x_2 \approx 1.292 \). Эти значения являются критическими точками.

Шаг 3: Определите экстремумы и значение функции в критических точках.
Чтобы определить экстремумы, вычислим вторую производную:
\[ f""(x) = \frac{{10x^4 - 12x^3 - 48x^2 + 24x + 14}}{{(x^4 + x^3 - 2x^2 - x + 1)^3}} \]

Подставим значения критических точек во вторую производную:
\[ f""(-0.804) \approx 1.389 \]
\[ f""(1.292) \approx -0.083 \]

Мы видим, что \( f""(-0.804) \) положительно, а \( f""(1.292) \) отрицательно. Это означает, что в точке \( x_1 \approx -0.804 \) достигается минимум, а в точке \( x_2 \approx 1.292 \) достигается максимум.

Шаг 4: Определите значения функции в экстремальных точках и рассмотрите предельные значения.
Чтобы найти значения функции \( f(x) \) в экстремальных точках, подставим значения критических точек в \( f(x) \):
\[ f(-0.804) \approx -4.218 \]
\[ f(1.292) \approx 1.523 \]

Таким образом, наименьшее значение выражения \( \frac{{15(x^2-x+1)}}{{(x^2+x+1)(x^2-x)^2}} \) равно примерно -4.218 при \( x \approx -0.804 \).