Какое наименьшее значение принимает функция y= 66tgx -132x+33П +7 на интервале (-П/3;П/3)?

Veronika

69

Хорошо, решим эту задачу пошагово. Для начала, определим интервал, на котором нужно искать наименьшее значение функции \(y = 66\tan{x} - 132x + 33\pi + 7\). Дано, что интервал равен \(\left(-\frac{\pi}{3}; \frac{\pi}{3}\right)\).

1. Найдем производную функции \(y\) по переменной \(x\). Производная позволит нам найти точку экстремума функции.
\[y" = 66(\sec{x})^2 - 132.\]

2. Решим уравнение \(y" = 0\), чтобы найти точки, в которых производная равна нулю.
\[66(\sec{x})^2 - 132 = 0.\]

3. Разделим это уравнение на 66, чтобы упростить его:
\[(\sec{x})^2 - 2 = 0.\]

4. Преобразуем уравнение, используя определение секанса \(sec^2{x} - 1 = \tan^2{x}\):
\[\tan^2{x} - 1 = 2.\]

5. Далее, преобразуем это уравнение к виду:
\[\tan^2{x} = 3.\]

6. Извлекая квадратный корень из обеих сторон уравнения, получим:
\[\tan{x} = \pm\sqrt{3}.\]

7. На интервале \(\left(-\frac{\pi}{3}; \frac{\pi}{3}\right)\) существует только одна точка, в которой тангенс равен \(\sqrt{3}\), и только одна точка, в которой тангенс равен \(-\sqrt{3}\). Так как мы ищем наименьшее значение функции, нам нужно рассматривать только ту точку, где тангенс равен \(\sqrt{3}\).

8. Чтобы найти значение функции при этой точке, подставим \(x = \frac{\pi}{3}\) в исходную функцию:
\[y = 66\tan\left(\frac{\pi}{3}\right) - 132\left(\frac{\pi}{3}\right) + 33\pi + 7.\]

9. Выполнив вычисления, получим:
\[y = 66\sqrt{3} - 44\pi + 7.\]

Таким образом, наименьшее значение функции \(y = 66\tan{x} - 132x + 33\pi + 7\) на интервале \(\left(-\frac{\pi}{3}; \frac{\pi}{3}\right)\) равно \(66\sqrt{3} - 44\pi + 7\).