Какое наименьшее значение принимает функция y=8x - ln(x+12)^8 на интервале [11,5;0]?

Викторовна_2485

35

Для решения данной задачи нам необходимо найти наименьшее значение функции \(y = 8x - \ln((x+12)^8)\) на интервале \([11,5;0]\).

Для начала, определим, что функция логарифма \(\ln\) определена только для положительных чисел. Мы имеем интервал \([11,5;0]\), который содержит отрицательное число. Поэтому, чтобы продолжить решение, нам необходимо исключить отрицательное число из интервала.

Теперь определим, каким образом искать наименьшее значение функции на данном интервале. Для этого нам необходимо найти точку, где производная функции равна нулю. То есть, необходимо найти такую точку, в которой функция имеет экстремум.

Для функции \(y = 8x - \ln((x+12)^8)\) найдем производную относительно переменной \(x\). Для удобства выполнения вычислений, воспользуемся правилами дифференцирования.

Полученная производная функции равна:

\[
y" = 8 - \frac{8}{(x+12)} = 0
\]

Теперь решим полученное уравнение относительно переменной \(x\):

\[
8 - \frac{8}{(x+12)} = 0
\]

Упростим уравнение и найдем общий знаменатель:

\[
8(x + 12) - 8 = 0
\]

Упростим полученное уравнение:

\[
8x + 96 - 8 = 0
\]

\[
8x + 88 = 0
\]

Теперь решим уравнение и найдем значение переменной \(x\):

\[
8x = -88
\]

\[
x = -\frac{88}{8} = -11
\]

Обратим внимание, что полученное значение \(x = -11\) находится вне интервала \([11,5;0]\), который был указан в задаче. Исключим его из рассмотрения.

Основываясь на этом, мы можем заключить, что на интервале \([11,5;0]\) функция \(y = 8x - \ln((x+12)^8)\) не имеет точки экстремума и, следовательно, не имеет наименьшего значения.