Какое неравенство не имеет решений? 1) Для каких значений x неравенство x^2−5x+53
Какое неравенство не имеет решений? 1) Для каких значений x неравенство x^2−5x+53<0 выполняется? 2) При каких значениях x неравенство x^2−5x−53<0 не имеет решений?
Скользящий_Тигр 8
Данное неравенство \(x^2 - 5x + 53 < 0\) не имеет решений ни при каких значениях \(x\). Для того чтобы доказать это, рассмотрим его график.Первым шагом необходимо найти вершину параболы, которая является точкой минимума или максимума. Для квадратного трехчлена вида \(ax^2 + bx + c\) вершина находится по формуле \(x = -\frac{b}{2a}\). В этом случае \(a = 1\) и \(b = -5\), поэтому \(x = -\left(-\frac{5}{2}\right) = \frac{5}{2} = 2.5\).
Теперь построим график данного квадратного трехчлена, используя полученные значения. Мы знаем, что вершина находится в точке \(\left(\frac{5}{2}, f\left(\frac{5}{2}\right)\right)\), где \(f(x)\) - функция, описывающая наш квадратный трехчлен.
\[
\begin{array}{c|c}
x & f(x) \\
\hline
0 & 53 \\
2.5 & \frac{53}{4} \\
\end{array}
\]
Теперь, построим график:
\[
\begin{array}{|c|c|}
\hline
x & f(x) \\
\hline
0 & 53 \\
2.5 & \frac{53}{4} \\
\hline
\end{array}
\]
Из графика видно, что график данного квадратного трехчлена всегда находится выше оси \(x\), так как его аргумент имеет квадратный вид, а коэффициент при \(x^2\) положительный (\(1\)). Следовательно, неравенство \(x^2 - 5x + 53 < 0\) не имеет решений для любого значения \(x\).
Для дополнительной уверенности, можно также рассмотреть дискриминант (\(D\)) данного квадратного трехчлена. Дискриминант определяется по формуле \(D = b^2 - 4ac\), где \(a = 1\), \(b = -5\), \(c = 53\). Подставляя значения, получаем \(D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 53 = 25 - 212 = -187\). Так как дискриминант получается отрицательным числом, то это говорит о том, что нет решений для данного неравенства.