Какое основание системы счисления используется, если число 79 записывается в виде 211n?

Скоростная_Бабочка

68

Чтобы найти основание системы счисления, которое используется, когда число 79 записывается в виде 211n, давайте рассмотрим значение каждого символа в записи числа.

В данной записи числа есть три символа: 2, 1 и n. Первый символ 2 в данном случае представляет количество единиц или единичное разрядное число. Затем идет символ 1, который представляет количество оснований возвышения на следующий разряд. Наконец, последний символ n представляет некоторое число, которое мы должны выразить в выбранной системе счисления.

Из задачи мы знаем, что число 79 записывается как 211n. Это означает, что у нас есть 2 единицы, 1 основание и некоторое число n.

Уточним, что в системе счисления с основанием n, каждая позиция разряда представляет n в степени позиции. Теперь мы можем записать число 79 как сумму его разрядов, умноженных на основание системы счисления в степени позиции разряда:

\(79 = 2 \cdot n^2 + 1 \cdot n^1 + n \cdot n^0\)

Упростив это уравнение, получим:

\(79 = 2n^2 + n + n^0\)

Теперь нам нужно найти значение основания системы счисления (n), которое удовлетворяет данному уравнению. Давайте решим это уравнение.

Приведем уравнение к стандартному виду, собрав все члены в одной степени:

\(2n^2 + n + 1 = 79\)

Теперь перенесем 79 на левую сторону:

\(2n^2 + n + 1 - 79 = 0\)

\(2n^2 + n - 78 = 0\)

Это квадратное уравнение. Давайте решим его, используя квадратное уравнение:

\(n = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\)

В нашем случае, \(a = 2\), \(b = 1\), и \(c = -78\).

Подставим значения:

\(n = \frac{-1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 2 \cdot -78}}{2 \cdot 2}\)

\(n = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 624}}{4}\)

\(n = \frac{-1 \pm \sqrt{625}}{4}\)

\(n = \frac{-1 \pm 25}{4}\)

Таким образом, у нас есть два корня: \(n = \frac{-1 + 25}{4}\) и \(n = \frac{-1 - 25}{4}\).

Раскроем скобки:

\(n = \frac{24}{4}\) и \(n = \frac{-26}{4}\)

Упростим:

\(n = 6\) и \(n = -\frac{13}{2}\)

Так как система счисления обычно использует только положительные числа, отбросим корень \(n = -\frac{13}{2}\).

Итак, основание системы счисления, используемой при записи числа 79 в виде 211n, равно 6.