Какое отношение объёмов частей четырехугольной пирамиды, если угол при основании равен 60° и через ребро этого угла

Львица

3

Чтобы найти отношение объемов частей четырехугольной пирамиды, которой условие задачи, нам сначала нужно понять, какие части пирамиды включены в это отношение.

Данная задача описывает пирамиду, у которой угол при основании равен 60°, и через ребро этого угла проведена плоскость, угол которой составляет 30° относительно основания. Обозначим эту плоскость как P.

Сначала найдем высоту четырехугольной пирамиды. Обратите внимание, что плоскость P разделяет пирамиду на две части: верхнюю и нижнюю.

Обозначим высоту пирамиды как h, и пусть AB является высотой, опущенной из вершины пирамиды угол a.

Так как угол при основании равен 60°, угол a равен 30° (так как они суммируются до 60°). Теперь, рассмотрим треугольник ABC. У нас есть два угла: угол a, который равен 30°, и угол b, который равен 90° (так как высота является перпендикулярной к основанию). Из свойств треугольников следует, что третий угол у треугольника ABC будет равен 180° - a - b = 180° - 30° - 90° = 60°.

Теперь, у нас есть два равных угла: угол при основании пирамиды и угол CBA (в треугольнике ABC). Из этого следует, что треугольник ABC является равнобедренным. Это означает, что отрезки AC и BC (основания треугольника) равны друг другу.

Теперь, мы знаем, что плоскость P проходит через ребро этого угла (через отрезок AC) и имеет угол 30° относительно основания (относительно отрезка BC).

Когда плоскость P проходит через ребро AC, она разделяет отрезок AC на две равные части. Положим, что точка раздела находится посередине отрезка AC и обозначим эту точку как D.

Теперь, рассмотрим треугольник DBC. У нас есть два угла: угол C, который равен 60° (как угол при основании пирамиды) и угол D, который равен 30° (его угол был задан условием задачи). Так как сумма углов треугольника равна 180°, то угол B равен 180° - C - D = 180° - 60° - 30° = 90°.

Получается, что у нас есть прямоугольный треугольник BCD, где угол B равен 90°.

Теперь, мы знаем, что отрезки AC и BC равны друг другу, а также, что отрезок AC был разделен плоскостью P на две равные части. Значит, отрезок AD также равен отрезку DC.

Когда плоскость P разделяет пирамиду, она создает две пирамиды: одну, образованную вершиной и треугольником ABC, и другую, образованную вершиной и треугольником BCD.

Теперь, мы можем заметить, что обе пирамиды имеют одинаковый объем. Это происходит потому, что они оба имеют одну общую вершину, а также равные высоты и площади оснований (треугольник ABC и треугольник BCD были разделены плоскостью P, и их структуры были сохранены).

Теперь мы можем сделать вывод о требуемом отношении объемов. Отношение объемов верхней пирамиды к объему нижней пирамиды равно 1:1.

Таким образом, отношение объемов частей четырехугольной пирамиды, описанной в условии задачи, равно 1:1.