Какое отношение ускорений a1a2, приобретённых двумя сталкивающимися каменными шариками разного размера на гладкой

Gloriya

26

Для решения данной задачи нам понадобится применить законы сохранения импульса и энергии при соударении шариков.

Во-первых, обозначим массы шариков и их ускорения соответственно как m1, m2 и a1, a2. Также обозначим радиусы шариков как r1 и r2.

Закон сохранения импульса гласит, что сумма начальных импульсов шариков равна сумме конечных импульсов. Поскольку шарики начинают движение с нулевой скоростью, начальные импульсы обоих шариков равны нулю:

\(m_1 \cdot v_1 + m_2 \cdot v_2 = 0\)

Здесь v1 и v2 — скорости соответствующих шариков после столкновения.

Так как ускорение равно производной скорости по времени, можно записать a1 и a2 в виде:

\(a_1 = \frac{{dv_1}}{{dt}}\)
\(a_2 = \frac{{dv_2}}{{dt}}\)

Проинтегрируем оба эти равенства по времени для получения зависимостей между скоростью и ускорением:

\(v_1 = \int a_1 dt\)
\(v_2 = \int a_2 dt\)

Согласно закону сохранения импульса, сумма начальных импульсов равна сумме конечных импульсов. Поскольку начальные импульсы равны нулю, конечные импульсы также должны равняться нулю:

\(m_1 \cdot v_1 + m_2 \cdot v_2 = 0\)

Из этого уравнения следует:

\(m_1 \cdot \int a_1 dt + m_2 \cdot \int a_2 dt = 0\)

Поскольку a1 и a2 зависят от времени, интеграл a1 dt можно записать как a1 Δt, а интеграл a2 dt как a2 Δt, где Δt - время соударения:

\(m_1 \cdot a_1 \cdot Δt + m_2 \cdot a_2 \cdot Δt = 0\)

Делим обе части уравнения на Δt:

\(m_1 \cdot a_1 + m_2 \cdot a_2 = 0\)

Теперь с учетом радиусов шариков, можно записать:

\(m_1 = \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot r_1^3 \cdot \rho\)
\(m_2 = \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot r_2^3 \cdot \rho\)

Где ρ - плотность материала шариков (предполагаем одинаковую плотность для упрощения расчетов).

Подставляем полученные выражения для масс в уравнение:

\(\frac{4}{3} \cdot \pi \cdot r_1^3 \cdot \rho \cdot a_1 + \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot r_2^3 \cdot \rho \cdot a_2 = 0\)

Упрощаем уравнение, деля обе части на \(\frac{4}{3} \cdot \pi \cdot \rho\):

\(r_1^3 \cdot a_1 + r_2^3 \cdot a_2 = 0\)

Теперь, учитывая, что \(r_1 = \frac{1}{3} \cdot r_2\), подставим это значение в уравнение:

\((\frac{1}{3})^3 \cdot r_2^3 \cdot a_1 + r_2^3 \cdot a_2 = 0\)

Упростим выражение:

\(\frac{1}{27} \cdot r_2^3 \cdot a_1 + r_2^3 \cdot a_2 = 0\)

Получаем уравнение, которое связывает ускорения шариков:

\(\frac{1}{27} \cdot a_1 + a_2 = 0\)

Теперь найдем отношение \(a_1\) к \(a_2\):

\(a_1 = -27 \cdot a_2\)

Таким образом, отношение ускорения \(a_1\) к \(a_2\) равно -27.

Если есть еще какие-либо вопросы, пожалуйста, обращайтесь!