Какое приближение числа пи использовали вавилоняне при измерении длины окружности с помощью периметра правильного

Эдуард

18

Конечно! Вавилоняне использовали приближение числа $\pi$ равное $\frac{3+\sqrt{3}}{2}$, чтобы измерить длину окружности с помощью периметра правильного шестиугольника, вписанного в нее.

Для того чтобы понять, как они пришли к такому приближению, давайте рассмотрим задачу более подробно.

Перед нами стоит задача измерить длину окружности. Внутри этой окружности мы вписываем равносторонний шестиугольник (т.е. все его стороны и углы равны).

Нам известно, что у равностороннего шестиугольника шесть сторон и все они равны между собой. Пусть длина каждой стороны шестиугольника равна $s$.

Теперь давайте посмотрим, как мы можем связать длину стороны шестиугольника и длину окружности.

Для начала, посмотрим на угол между любой стороной шестиугольника и радиусом окружности, проведенным к центру окружности.

Этот угол равен $60$ градусам, так как каждый угол шестиугольника равен $120$ градусам (сумма углов в шестиугольнике равна $720$ градусов) и мы разделяем его на два равных угла.

Теперь, давайте рассмотрим треугольник, состоящий из радиуса окружности, стороны шестиугольника и отрезка, соединяющего центр окружности и середину стороны шестиугольника. Этот треугольник будет равносторонним, так как у него все стороны равны $r$, $s$ и $s$, соответственно.

Мы знаем, что для равностороннего треугольника со стороной $a$ площадь можно вычислить по формуле:

$$S=\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot a^2,$$

где $\sqrt{3}$ - корень из трёх, это одно из известных значений.

Таким образом, площадь треугольника равна:

$$S=\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot s^2.$$

Также, мы знаем, что площадь треугольника равна половине площади окружности с радиусом $r$:

$$S=\frac{r\cdot l}{2},$$

где $l$ - длина окружности.

Сравнивая два выражения для площади $S$, получаем:

$$\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot s^2=\frac{r\cdot l}{2}.$$

Теперь давайте выразим длину окружности $l$ через длину стороны $s$ шестиугольника.

Мы знаем, что длину окружности можно выразить через радиус $r$ окружности следующим образом:

$$l=2\cdot \pi \cdot r.$$

Подставим это выражение в уравнение:

$$\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot s^2=2\cdot \pi \cdot r\cdot \frac{1}{2}=\pi \cdot r.$$

Теперь выразим радиус $r$ через сторону $s$ шестиугольника:

$$r=\frac{s}{2\cdot \sqrt{3}}.$$

Подставим это выражение в уравнение:

$$\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot s^2=\pi \cdot \frac{s}{2\cdot \sqrt{3}}.$$

Упростим:

$$\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot s^2=\frac{\pi \cdot s}{2\cdot \sqrt{3}}.$$

Умножим обе части уравнения на $\frac{4}{s}$, чтобы избавиться от дроби и сократить сомножители:

$$\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\pi }{\sqrt{3}}.$$

Теперь, чтобы найти приближение числа $\pi$, возьмем корень из обеих частей уравнения:

$$\sqrt{\frac{3}{2}}=\frac{\pi }{\sqrt{3}}.$$

Переставим местами и получим:

$$\pi =\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \sqrt{2}=\frac{\sqrt{3}\cdot \sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{6}}{2}.$$

После округления получаем приближение: $\pi \approx \frac{3+\sqrt{3}}{2}$.

Вот таким образом вавилоняне получили приближение числа $\pi$ при измерении длины окружности с помощью периметра правильного шестиугольника!