Какое приближение числа пи использовали вавилоняне при измерении длины окружности с помощью периметра правильного

Эдуард

18

Конечно! Вавилоняне использовали приближение числа \(\pi\) равное \(\frac{3+ \sqrt{3}}{2}\), чтобы измерить длину окружности с помощью периметра правильного шестиугольника, вписанного в нее.

Для того чтобы понять, как они пришли к такому приближению, давайте рассмотрим задачу более подробно.

Перед нами стоит задача измерить длину окружности. Внутри этой окружности мы вписываем равносторонний шестиугольник (т.е. все его стороны и углы равны).

Нам известно, что у равностороннего шестиугольника шесть сторон и все они равны между собой. Пусть длина каждой стороны шестиугольника равна \(s\).

Теперь давайте посмотрим, как мы можем связать длину стороны шестиугольника и длину окружности.

Для начала, посмотрим на угол между любой стороной шестиугольника и радиусом окружности, проведенным к центру окружности.

Этот угол равен \(60\) градусам, так как каждый угол шестиугольника равен \(120\) градусам (сумма углов в шестиугольнике равна \(720\) градусов) и мы разделяем его на два равных угла.

Теперь, давайте рассмотрим треугольник, состоящий из радиуса окружности, стороны шестиугольника и отрезка, соединяющего центр окружности и середину стороны шестиугольника. Этот треугольник будет равносторонним, так как у него все стороны равны \(r\), \(s\) и \(s\), соответственно.

Мы знаем, что для равностороннего треугольника со стороной \(a\) площадь можно вычислить по формуле:

\[S = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot a^2,\]

где \(\sqrt{3}\) - корень из трёх, это одно из известных значений.

Таким образом, площадь треугольника равна:

\[S = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot s^2.\]

Также, мы знаем, что площадь треугольника равна половине площади окружности с радиусом \(r\):

\[S = \frac{r \cdot l}{2},\]

где \(l\) - длина окружности.

Сравнивая два выражения для площади \(S\), получаем:

\[\frac{\sqrt{3}}{4} \cdot s^2 = \frac{r \cdot l}{2}.\]

Теперь давайте выразим длину окружности \(l\) через длину стороны \(s\) шестиугольника.

Мы знаем, что длину окружности можно выразить через радиус \(r\) окружности следующим образом:

\[l = 2 \cdot \pi \cdot r.\]

Подставим это выражение в уравнение:

\[\frac{\sqrt{3}}{4} \cdot s^2 = 2 \cdot \pi \cdot r \cdot \frac{1}{2} = \pi \cdot r.\]

Теперь выразим радиус \(r\) через сторону \(s\) шестиугольника:

\[r = \frac{s}{2 \cdot \sqrt{3}}.\]

Подставим это выражение в уравнение:

\[\frac{\sqrt{3}}{4} \cdot s^2 = \pi \cdot \frac{s}{2 \cdot \sqrt{3}}.\]

Упростим:

\[\frac{\sqrt{3}}{4} \cdot s^2 = \frac{\pi \cdot s}{2 \cdot \sqrt{3}}.\]

Умножим обе части уравнения на \(\frac{4}{s}\), чтобы избавиться от дроби и сократить сомножители:

\[\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{\sqrt{3}}.\]

Теперь, чтобы найти приближение числа \(\pi\), возьмем корень из обеих частей уравнения:

\[\sqrt{\frac{3}{2}} = \frac{\pi}{\sqrt{3}}.\]

Переставим местами и получим:

\[\pi = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \sqrt{2} = \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6}}{2}.\]

После округления получаем приближение: \(\pi \approx \frac{3+ \sqrt{3}}{2}\).

Вот таким образом вавилоняне получили приближение числа \(\pi\) при измерении длины окружности с помощью периметра правильного шестиугольника!