Какое приближение числа пи использовали вавилоняне при измерении длины окружности с помощью периметра правильного

  • 48
Какое приближение числа пи использовали вавилоняне при измерении длины окружности с помощью периметра правильного шестиугольника, вписанного в нее?
Эдуард
18
Конечно! Вавилоняне использовали приближение числа π равное 3+32, чтобы измерить длину окружности с помощью периметра правильного шестиугольника, вписанного в нее.

Для того чтобы понять, как они пришли к такому приближению, давайте рассмотрим задачу более подробно.

Перед нами стоит задача измерить длину окружности. Внутри этой окружности мы вписываем равносторонний шестиугольник (т.е. все его стороны и углы равны).

Нам известно, что у равностороннего шестиугольника шесть сторон и все они равны между собой. Пусть длина каждой стороны шестиугольника равна s.

Теперь давайте посмотрим, как мы можем связать длину стороны шестиугольника и длину окружности.

Для начала, посмотрим на угол между любой стороной шестиугольника и радиусом окружности, проведенным к центру окружности.

Этот угол равен 60 градусам, так как каждый угол шестиугольника равен 120 градусам (сумма углов в шестиугольнике равна 720 градусов) и мы разделяем его на два равных угла.

Теперь, давайте рассмотрим треугольник, состоящий из радиуса окружности, стороны шестиугольника и отрезка, соединяющего центр окружности и середину стороны шестиугольника. Этот треугольник будет равносторонним, так как у него все стороны равны r, s и s, соответственно.

Мы знаем, что для равностороннего треугольника со стороной a площадь можно вычислить по формуле:

S=34a2,

где 3 - корень из трёх, это одно из известных значений.

Таким образом, площадь треугольника равна:

S=34s2.

Также, мы знаем, что площадь треугольника равна половине площади окружности с радиусом r:

S=rl2,

где l - длина окружности.

Сравнивая два выражения для площади S, получаем:

34s2=rl2.

Теперь давайте выразим длину окружности l через длину стороны s шестиугольника.

Мы знаем, что длину окружности можно выразить через радиус r окружности следующим образом:

l=2πr.

Подставим это выражение в уравнение:

34s2=2πr12=πr.

Теперь выразим радиус r через сторону s шестиугольника:

r=s23.

Подставим это выражение в уравнение:

34s2=πs23.

Упростим:

34s2=πs23.

Умножим обе части уравнения на 4s, чтобы избавиться от дроби и сократить сомножители:

32=π3.

Теперь, чтобы найти приближение числа π, возьмем корень из обеих частей уравнения:

32=π3.

Переставим местами и получим:

π=322=322=62.

После округления получаем приближение: π3+32.

Вот таким образом вавилоняне получили приближение числа π при измерении длины окружности с помощью периметра правильного шестиугольника!