Какое расстояние между основаниями наклонных линий, если они образуют углы 45° и 60° с плоскостью, и точка от плоскости

Магнит

46

Чтобы решить эту задачу, нам понадобится использовать геометрические свойства. Давайте пошагово разберемся.

Шаг 1: Обозначим данную информацию. Пусть \(AB\) и \(AC\) - это наклонные линии, которые образуют углы \(45^\circ\) и \(60^\circ\) с плоскостью соответственно. Пусть \(P\) - это точка, удаленная на расстояние \(4\sqrt{2}\) от плоскости.

Шаг 2: Мы можем заметить, что треугольник \(APB\) - прямоугольный, так как \(AB\) является наклонной линией, а \(AP\) соединяет точку \(P\) с вершиной прямого угла. Также, мы знаем, что в прямоугольном треугольнике гипотенуза в два раза больше катета.

Шаг 3: Применим это к нашему треугольнику и обозначим \(PB = x\). Тогда гипотенуза \(AB\) будет равна \(2x\) (дважды длине катета). Теперь мы можем применить теорему Пифагора, чтобы рассчитать гипотенузу:

\[
AB^2 = AP^2 + PB^2
\]

\[
(2x)^2 = (4\sqrt{2})^2 + x^2
\]

\[
4x^2 = 16 \cdot 2 + x^2
\]

\[
4x^2 - x^2 = 32
\]

\[
3x^2 = 32
\]

\[
x^2 = \frac{32}{3}
\]

Шаг 4: Теперь мы можем найти значение \(x\), взяв квадратный корень от обеих сторон уравнения:

\[
x = \sqrt{\frac{32}{3}}
\]

Шаг 5: Значение \(x\) дает нам длину \(PB\), но для ответа на вопрос нужно найти расстояние между основаниями наклонных линий, то есть расстояние между точками \(B\) и \(C\). Поскольку мы знаем, что угол между наклонными линиями составляет \(60^\circ\), мы можем применить тригонометрию.

Шаг 6: В прямоугольном треугольнике \(BCP\) мы можем использовать функцию синуса, чтобы найти сторону:

\[
\sin 60^\circ = \frac{BC}{PB}
\]

\[
\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{BC}{\sqrt{\frac{32}{3}}}
\]

\[
BC = \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{\frac{32}{3}}}{2}
\]

Шаг 7: Упростим эту формулу:

\[
BC = \sqrt{\frac{3 \cdot 32}{3}} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}
\]

Ответ: Расстояние между основаниями наклонных линий равно \(4\sqrt{2}\), что также является заданной длиной точки \(P\) от плоскости.