Какое расстояние от центра шара до плоскости сечения, если объем шара равен 288π и площадь сечения составляет 27π?

Ледяной_Огонь

11

Чтобы найти расстояние от центра шара до плоскости сечения, нам понадобятся некоторые формулы и свойства шара.

Давайте начнем с формулы для объема шара:

\[V = \frac{4}{3}\pi r^3\]

Здесь V обозначает объем шара, а r - его радиус. Из условия задачи мы знаем, что объем шара равен \(288\pi\), так что мы можем записать уравнение:

\[\frac{4}{3}\pi r^3 = 288\pi\]

Деления обоих сторон уравнения на \(\pi\) дает нам:

\[\frac{4}{3}r^3 = 288\]

Теперь мы можем найти радиус r, возведя обе стороны уравнения в степень 3 и деление на \(\frac{4}{3}\):

\[r^3 = \frac{288}{\frac{4}{3}}\]

\[\Rightarrow r^3 = \frac{288 \cdot 3}{4} = 216\]

Для нахождения радиуса нужно извлечь кубический корень из обоих сторон уравнения:

\[r = \sqrt[3]{216} = 6\]

Теперь нам нужно найти расстояние от центра шара до плоскости сечения. Для этого обратимся к свойству шара: плоскость сечения, проходящая через центр шара, делит его на две равные половины. Поскольку площадь сечения составляет \(27\pi\), мы можем сделать вывод, что это половина от площади поверхности шара. Площадь поверхности шара вычисляется по формуле:

\[S = 4\pi r^2\]

Подставим значения и найдем S:

\[27\pi = 2 \cdot 4\pi r^2\]

\[\Rightarrow r^2 = \frac{27\pi}{8\pi} = \frac{27}{8}\]

\[\Rightarrow r = \sqrt{\frac{27}{8}}\]

Теперь нам осталось найти искомое расстояние от центра шара до плоскости сечения. Это равно разности радиуса шара и радиуса сечения:

\[d = r - \sqrt{\frac{27}{8}}\]

\[d = 6 - \sqrt{\frac{27}{8}}\]

Остается только вычислить значение:

\[d \approx 6 - 1,5 = 4,5\]

Таким образом, расстояние от центра шара до плоскости сечения составляет примерно 4,5 единицы.