Найдите значение n и сумму элементов Sn в геометрической прогрессии (bn), заданной условиями: b1=120, bn=3.75, n=6

Лягушка

21

Для решения задачи вам понадобятся формулы для элементов геометрической прогрессии. Общая формула выглядит следующим образом:

\[b_n = b_1 \cdot q^{n-1}\]

где \(b_n\) - значение \(n\)-го элемента прогрессии, \(b_1\) - значение первого элемента прогрессии, \(q\) - знаменатель прогрессии, \(n\) - номер элемента прогрессии.

У нас есть две задачи, рассмотрим их по очереди.

1) Для первой задачи параметры геометрической прогрессии следующие: \(b_1 = 120\), \(b_n = 3.75\), \(n = 6\). Мы можем использовать эти данные, чтобы найти знаменатель прогрессии (\(q\)) и сумму элементов прогрессии (\(S_n\)).

Заметим, что мы знаем значение первого и \(n\)-го элементов прогрессии. Подставим это в формулу и сможем найти \(q\):

\[b_n = b_1 \cdot q^{n-1}\]

Приведем уравнение к неизвестному:

\[3.75 = 120 \cdot q^{6-1}\]

Теперь возведем обе части уравнения в степень \(\frac{1}{5}\):

\[(3.75)^{\frac{1}{5}} = (120 \cdot q^{6-1})^{\frac{1}{5}}\]

\[(3.75)^{\frac{1}{5}} = 120^{\frac{1}{5}} \cdot q\]

Теперь найдем значение \(q\) делением левой и правой частей уравнения:

\[q = \frac{(3.75)^{\frac{1}{5}}}{120^{\frac{1}{5}}}\]

Подставив полученное значение \(q\) в формулу для суммы элементов прогрессии, можем найти значение \(S_n\):

\[S_n = \frac{{b_1 \cdot (1-q^n)}}{{1-q}}\]

Подставим значения в формулу:

\[S_6 = \frac{{120 \cdot (1-\left(\frac{{(3.75)^{\frac{1}{5}}}}{{120^{\frac{1}{5}}}}\right)^6)}}{{1-\left(\frac{{(3.75)^{\frac{1}{5}}}}{{120^{\frac{1}{5}}}}\right)}}\]

Вычислив данное выражение, получим окончательное значение суммы элементов прогрессии \(S_6\).

2) Для второй задачи параметры геометрической прогрессии следующие: \(b_1 = 0.02\), \(b_n = 312.5\). Нам нужно найти значение \(n\) и сумму элементов прогрессии (\(S_n\)).

Мы можем использовать такие же формулы, как в первой задаче, но на этот раз нам будет известен только первый и \(n\)-й элементы прогрессии. Подставим значения в формулу для \(b_n\):

\[b_n = b_1 \cdot q^{n-1}\]

Получим следующее уравнение:

\[312.5 = 0.02 \cdot q^{n-1}\]

Решим его относительно \(n\):

\[\frac{312.5}{0.02} = q^{n-1}\]

Подставим вместо \(q\) значение \(\frac{{b_n}}{{b_1}}\):

\[\frac{312.5}{0.02} = \left(\frac{{b_n}}{{b_1}}\right)^{n-1}\]

Выразим \(n-1\):

\(n-1 = \log_{\frac{{b_n}}{{b_1}}} \left(\frac{312.5}{0.02}\right)\)

Теперь мы можем найти значение \(n\), прибавив 1 к \(n-1\):

\(n = 1 + \log_{\frac{{b_n}}{{b_1}}} \left(\frac{312.5}{0.02}\right)\)

Подставим это значение \(n\) в формулу для суммы элементов прогрессии (\(S_n\)):

\(S_n = \frac{{b_1 \cdot (1-q^n)}}{{1-q}}\)

Учитывая, что у нас теперь есть значение \(n\), чем мы получили ранее, мы можем вычислить \(S_n\) и приближенно получить значение суммы элементов прогрессии в данной задаче.

Надеюсь, эта подробная информация поможет вам разобраться в решении данных геометрических прогрессий. Если у вас остались вопросы, не стесняйтесь задавать их!