Какое расстояние от точки а) B, б) A1, в) C1 до плоскости ASD1 для прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1

Taras

32

Чтобы найти расстояние от точки B до плоскости ASD1, мы можем воспользоваться формулой для расстояния от точки до плоскости.

Определение плоскости ASD1: плоскость ASD1 проходит через вершину A и перпендикулярна стороне AD (продолжение этой стороны) и стороне A1D1 (продолжение этой стороны).

При использовании формулы расстояния от точки до плоскости, мы должны знать координаты точки B и уравнение плоскости ASD1. Учитывая описание прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 и данные, которые нам даны, мы можем выразить координаты точки B.

По условию, AB = 3, AD = 2 и AA1 является диагональю грани A1B1C1D1 прямоугольного параллелепипеда. Учитывая это, мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения длины диагонали A1A:

\[AA1 = \sqrt{AB^2 + AD^2}\]

\[AA1 = \sqrt{3^2 + 2^2}\]

\[AA1 = \sqrt{9 + 4}\]

\[AA1 = \sqrt{13}\]

Теперь у нас есть нужные данные для исследования плоскости ASD1.

Уравнение плоскости ASD1 можно записать в виде общего уравнения плоскости: Ax + By + Cz + D = 0.

Учитывая, что плоскость ASD1 проходит через вершину A, нормаль к плоскости может быть найдена с помощью векторного произведения двух векторов, лежащих в плоскости. Вектор AB и вектор AD будут лежать в плоскости.

Вектор AB = (x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1) = (0 - 3, 3 - 0, 1 - 0) = (-3, 3, 1).

Вектор AD = (x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1) = (3 - 0, 0 - 2, 1 - 0) = (3, -2, 1).

Теперь мы можем найти векторное произведение векторов AB и AD, чтобы получить нормаль к плоскости ASD1.

\( \mathbf{n} = \mathbf{AB} \times \mathbf{AD} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\ -3 & 3 & 1 \\ 3 & -2 & 1 \end{vmatrix} \)

\( \mathbf{n} = (\mathbf{j} \cdot \mathbf{k} - \mathbf{k} \cdot \mathbf{j}, \mathbf{k} \cdot \mathbf{i} - \mathbf{i} \cdot \mathbf{k}, \mathbf{i} \cdot \mathbf{j} - \mathbf{j} \cdot \mathbf{i}) \)

\( \mathbf{n} = (3 - (-2), 1 - 3, (-3) - (3)) \)

\( \mathbf{n} = (5, -2, -6) \)

Таким образом, у нас есть нормаль к плоскости ASD1 - (5, -2, -6).

Теперь, когда у нас есть нормаль к плоскости ASD1 и координаты точки B, мы можем использовать формулу для расстояния от точки до плоскости:

\[d = \frac{|Ax + By + Cz + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}\]

Подставим координаты точки B (x, y, z) = (0, 3, 1) и найденное уравнение плоскости ASD1 (A, B, C, D) = (5, -2, -6, 0):

\[d = \frac{|5 \cdot 0 + (-2) \cdot 3 + (-6) \cdot 1 + 0|}{\sqrt{5^2 + (-2)^2 + (-6)^2}}\]

\[d = \frac{|0 - 6 - 6 + 0|}{\sqrt{25 + 4 + 36}}\]

\[d = \frac{-12}{\sqrt{65}}\]

Таким образом, расстояние от точки B до плоскости ASD1 составляет \(-\frac{12}{\sqrt{65}}\) или приблизительно -1.48. Учитывая, что расстояние является величиной и не может быть отрицательным, мы можем сказать, что расстояние равно 1.48. Важно отметить, что расстояние - это расстояние от точки до плоскости, а не по прямой линии.