Какое расстояние s между точками падения обоих осколков, если снаряд в верхней точке траектории разорвался на 2 части

Пётр

2

Для решения этой задачи мы можем использовать законы сохранения импульса и энергии. Давайте пошагово рассмотрим решение.

Шаг 1: Определение горизонтальной скорости снаряда в верхней точке траектории.
Учитывая, что горизонтальная скорость снаряда остается постоянной на всей траектории, горизонтальная скорость \(v_2\) осколка \(m_2\) также будет равна 250 м/с.

Шаг 2: Расчет вертикальной скорости снаряда в момент разрыва.
Вертикальная скорость снаряда \(v_0\) в верхней точке траектории равна 100 м/с.

Шаг 3: Расчет суммарной массы осколков.
Суммарная масса осколков равна \(m_1 + m_2\), то есть 1 кг + 1,5 кг = 2,5 кг.

Шаг 4: Применение закона сохранения импульса для горизонтального направления.
Так как горизонтальная скорость снаряда остается неизменной при разрыве, суммарный импульс осколков до и после разрыва должен быть равным. Таким образом, \(m_2 \cdot v_2 = (m_1 + m_2) \cdot v"\), где \(v"\) - горизонтальная скорость обоих осколков после разрыва.

Подставляя значения, получаем: \(1,5 \, \text{кг} \cdot 250 \, \text{м/с} = 2,5 \, \text{кг} \cdot v"\).
Из этого равенства можно выразить \(v"\): \(v" = \frac{1,5 \, \text{кг} \cdot 250 \, \text{м/с}}{2,5 \, \text{кг}}\).
Расчет дает \(v" = 150 \, \text{м/с}\).

Шаг 5: Расчет вертикальной скорости осколка \(m_2\) после разрыва.
Для определения вертикальной скорости осколка \(m_2\) после разрыва можно использовать закон сохранения энергии. Потенциальная энергия снаряда в верхней точке траектории полностью превращается в кинетическую энергию снарядов после разрыва.

Мы можем записать уравнение:

\(\frac{1}{2} m_2 \cdot (v_2)^2 = \frac{1}{2} m_2 \cdot (v_{2"})^2\),

где \(v_{2"}\) - вертикальная скорость осколка \(m_2\) после разрыва.

Подставив значения, получаем:

\(\frac{1}{2} \cdot 1,5 \, \text{кг} \cdot (250 \, \text{м/с})^2 = \frac{1}{2} \cdot 1,5 \, \text{кг} \cdot (v_{2"})^2\).

Сокращая 1,5 и переупорядочивая уравнение, мы получаем:

\((250 \, \text{м/с})^2 = (v_{2"})^2\),

откуда:

\(v_{2"} = 250 \, \text{м/с}\).

Шаг 6: Расчет времени полета снаряда после разрыва.
Поскольку вертикальная составляющая полета снаряда после разрыва идентична падению свободного тела, мы можем использовать формулу высоты падения для расчета времени полета. Формула высоты падения:

\(h = \frac{1}{2} g t^2\),

где \(h\) - высота падения, \(g\) - ускорение свободного падения (примерно 9,8 м/с²), \(t\) - время полета.

Перенесем переменные и вместо \(h\) подставим \(s\):

\(s = \frac{1}{2} g t^2\).

Решим уравнение относительно \(t\):

\(t = \sqrt{\frac{2s}{g}}\).

Шаг 7: Расчет расстояния между точками падения обоих осколков.
Расстояние между точками падения обоих осколков равно горизонтальной скорости осколка \(m_2\) после разрыва, умноженной на время полета снаряда после разрыва.

\(s = v_{2"} \cdot t\).

Подставив значения, получаем:

\(s = 250 \, \text{м/с} \cdot \sqrt{\frac{2s}{g}}\).

Возведем это уравнение в квадрат, чтобы избавиться от корня:

\(s^2 = (250 \, \text{м/с})^2 \cdot \frac{2s}{g}\).

Переупорядочивая, разделим уравнение на \((250 \, \text{м/с})^2\):

\(s = \frac{(250 \, \text{м/с})^2 \cdot \frac{2s}{g}}{(250 \, \text{м/с})^2}\).

Упрощая, получаем:

\(s = \frac{2s}{g}\).

Теперь умножим обе стороны уравнения на \(g\):

\(s \cdot g = 2s\).

Раскроем скобки:

\(sg = 2s\).

И, наконец, избавимся от \(s\):

\(sg - 2s = 0\).

Факторизуем:

\(s(g - 2) = 0\).

Таким образом, решением уравнения являются два значения: \(s = 0\) или \(g - 2 = 0\). Но \(s\) не может быть равно нулю, так как это означало бы, что осколки падают в одной точке.

Итак, единственное допустимое значение для \(s\) равно:

\(g - 2 = 0\).

Подставляя значение \(g\) (ускорение свободного падения, примерно 9,8 м/с²), мы получаем:

\(9,8 \, \text{м/с²} - 2 = 7,8 \, \text{м/с²}\).

Итак, расстояние \(s\) между точками падения обоих осколков составляет 7,8 м.