Какое расстояние s между точками падения обоих осколков, если снаряд в верхней точке траектории разорвался на 2 части

Пётр

2

Для решения этой задачи мы можем использовать законы сохранения импульса и энергии. Давайте пошагово рассмотрим решение.

Шаг 1: Определение горизонтальной скорости снаряда в верхней точке траектории.
Учитывая, что горизонтальная скорость снаряда остается постоянной на всей траектории, горизонтальная скорость $v_2$ осколка $m_2$ также будет равна 250 м/с.

Шаг 2: Расчет вертикальной скорости снаряда в момент разрыва.
Вертикальная скорость снаряда $v_0$ в верхней точке траектории равна 100 м/с.

Шаг 3: Расчет суммарной массы осколков.
Суммарная масса осколков равна $m_1+m_2$, то есть 1 кг + 1,5 кг = 2,5 кг.

Шаг 4: Применение закона сохранения импульса для горизонтального направления.
Так как горизонтальная скорость снаряда остается неизменной при разрыве, суммарный импульс осколков до и после разрыва должен быть равным. Таким образом, $m_2\cdot v_2=(m_1+m_2)\cdot v"$, где $v"$ - горизонтальная скорость обоих осколков после разрыва.

Подставляя значения, получаем: $1,5\text{кг}\cdot 250\text{м/с}=2,5\text{кг}\cdot v"$.
Из этого равенства можно выразить $v"$: $v"=\frac{1,5\text{кг}\cdot 250\text{м/с}}{2,5\text{кг}}$.
Расчет дает $v"=150\text{м/с}$.

Шаг 5: Расчет вертикальной скорости осколка $m_2$ после разрыва.
Для определения вертикальной скорости осколка $m_2$ после разрыва можно использовать закон сохранения энергии. Потенциальная энергия снаряда в верхней точке траектории полностью превращается в кинетическую энергию снарядов после разрыва.

Мы можем записать уравнение:

$\frac{1}{2}{m}_2\cdot (v_2{)}^2=\frac{1}{2}{m}_2\cdot (v_{2"}{)}^2$,

где $v_{2"}$ - вертикальная скорость осколка $m_2$ после разрыва.

Подставив значения, получаем:

$\frac{1}{2}\cdot 1,5\text{кг}\cdot (250\text{м/с}{)}^2=\frac{1}{2}\cdot 1,5\text{кг}\cdot (v_{2"}{)}^2$.

Сокращая 1,5 и переупорядочивая уравнение, мы получаем:

$(250\text{м/с}{)}^2=(v_{2"}{)}^2$,

откуда:

$v_{2"}=250\text{м/с}$.

Шаг 6: Расчет времени полета снаряда после разрыва.
Поскольку вертикальная составляющая полета снаряда после разрыва идентична падению свободного тела, мы можем использовать формулу высоты падения для расчета времени полета. Формула высоты падения:

$h=\frac{1}{2}g{t}^2$,

где $h$ - высота падения, $g$ - ускорение свободного падения (примерно 9,8 м/с²), $t$ - время полета.

Перенесем переменные и вместо $h$ подставим $s$:

$s=\frac{1}{2}g{t}^2$.

Решим уравнение относительно $t$:

$t=\sqrt{\frac{2s}{g}}$.

Шаг 7: Расчет расстояния между точками падения обоих осколков.
Расстояние между точками падения обоих осколков равно горизонтальной скорости осколка $m_2$ после разрыва, умноженной на время полета снаряда после разрыва.

$s=v_{2"}\cdot t$.

Подставив значения, получаем:

$s=250\text{м/с}\cdot \sqrt{\frac{2s}{g}}$.

Возведем это уравнение в квадрат, чтобы избавиться от корня:

$s^2=(250\text{м/с}{)}^2\cdot \frac{2s}{g}$.

Переупорядочивая, разделим уравнение на $(250\text{м/с}{)}^2$:

$s=\frac{(250\text{м/с}{)}^2\cdot \frac{2s}{g}}{(250\text{м/с}{)}^2}$.

Упрощая, получаем:

$s=\frac{2s}{g}$.

Теперь умножим обе стороны уравнения на $g$:

$s\cdot g=2s$.

Раскроем скобки:

$sg=2s$.

И, наконец, избавимся от $s$:

$sg-2s=0$.

Факторизуем:

$s(g-2)=0$.

Таким образом, решением уравнения являются два значения: $s=0$ или $g-2=0$. Но $s$ не может быть равно нулю, так как это означало бы, что осколки падают в одной точке.

Итак, единственное допустимое значение для $s$ равно:

$g-2=0$.

Подставляя значение $g$ (ускорение свободного падения, примерно 9,8 м/с²), мы получаем:

$9,8\text{м/с²}-2=7,8\text{м/с²}$.

Итак, расстояние $s$ между точками падения обоих осколков составляет 7,8 м.