Какое самое высокое значение принимает функция y = 3cosx + cos3x/5 на интервале (-p/2;p/2)?

Янгол

32

Для начала, давайте внимательно изучим данную функцию: \(y = 3\cos(x) + \frac{\cos(3x)}{5}\).

Функция \(y = \cos(x)\) представляет собой график косинуса и колеблется между значениями -1 и 1. Эта функция имеет период \(2\pi\) и достигает максимального значения в точках \(x = 0\) и \(x = 2\pi\), а минимального значения в точках \(x = \pi\) и \(x = 3\pi\).

Теперь посмотрим на функцию \(y = \cos(3x)\). Эта функция также имеет период \(\frac{2\pi}{3}\) и колеблется между значениями -1 и 1. Она достигает максимального значения в точках \(x = 0, \frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}\), а минимального значения в точках \(x = \frac{\pi}{3}, \pi, \frac{5\pi}{3}\).

Мы видим, что функции \(3\cos(x)\) и \(\frac{\cos(3x)}{5}\) имеют разные периоды, но они оба включают в себя косинус и колеблются между значениями -1 и 1.

Теперь посмотрим на сумму этих двух функций: \(y = 3\cos(x) + \frac{\cos(3x)}{5}\). Ищем максимальное значение этой суммы в интервале \(-\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2}\).

Для ответа на этот вопрос нам необходимо проанализировать все возможные точки экстремума на данном интервале. Это могут быть точки, где производная функции равна нулю, или точки, где происходит изменение поведения функции.

Производная функции \(y = 3\cos(x) + \frac{\cos(3x)}{5}\) равна \(-3\sin(x) - \frac{3\sin(3x)}{5}\).

Чтобы найти точки экстремума, мы должны приравнять производную к нулю и решить уравнение:

\[-3\sin(x) - \frac{3\sin(3x)}{5} = 0\]

Решение этого уравнения может быть сложным и не имеет простой аналитической формулы. Поэтому мы воспользуемся графиком функции или численными методами, чтобы найти значения \(x\), когда производная равна нулю.

После нахождения всех значений \(x\), где производная равна нулю, мы проверяем значения функции \(y\) в этих точках, а также на концах интервала \(-\frac{\pi}{2}\) и \(\frac{\pi}{2}\).

Найденные значения функции \(y\) будут максимальными на данном интервале, так как они соответствуют экстремумам.