Какое скалярное произведение имеют эти векторы при известной длине ребра куба?

Зоя

34

Конечно, я помогу вам решить задачу! Давайте разберемся в скалярном произведении и применим его к данным векторам.

Представим, что у нас есть два вектора \(\mathbf{a}\) и \(\mathbf{b}\), и длина ребра куба известна - пусть она равна \(l\). Векторы заданы как \(\mathbf{a} = (a_1, a_2, a_3)\) и \(\mathbf{b} = (b_1, b_2, b_3)\).

Скалярное произведение векторов \(\mathbf{a}\) и \(\mathbf{b}\) определяется следующим образом:

\[\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_2 + a_3 \cdot b_3\]

В данной задаче векторы заданы без указания конкретных координат, однако мы знаем, что они относятся к длине ребра куба. Из геометрии куба мы можем сделать некоторые наблюдения.

Каждый вектор соединяет две точки на кубе, и его компоненты представляют собой различные разности координат этих точек. Также мы можем заметить, что для каждого вектора модуль каждой компоненты равен длине ребра куба \(l\).

Теперь рассмотрим скалярное произведение векторов. Так как мы знаем, что угол между векторами в кубе будет 90 градусов (прямой угол), то произведение будет иным:

\[\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_2 + a_3 \cdot b_3 = l \cdot l + l \cdot l + l \cdot l\]

Теперь можем просуммировать и упростить это выражение:

\[\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = l^2 + l^2 + l^2 = 3l^2\]

Таким образом, скалярное произведение этих векторов при известной длине ребра куба равно \(3l^2\).

Надеюсь, это решение понятно и подробно объясняет, как получить результат.