Какое смещение груза относительно положения равновесия, когда его скорость на 30% меньше максимального значения

Tigrenok

17

Для решения этой задачи нам понадобится знание закона Гука и формулы для расчета периода колебаний пружинного маятника.

Закон Гука гласит, что сила, с которой пружина действует на груз, пропорциональна смещению груза относительно его положения равновесия. Формула для закона Гука выглядит так:

\[F = kx\]

где F - сила пружины, k - пружинная жесткость, x - смещение груза от положения равновесия.

Мы знаем, что сила, действующая на груз, равна его весу. Запишем это равенство:

\[mg = kx\]

где m - масса груза, g - ускорение свободного падения.

Мы также знаем, что скорость груза находится в обратной пропорции с силой пружины, то есть:

\[v = \frac{dx}{dt}\]

где v - скорость груза, t - время.

Нам дано, что скорость груза на 30% меньше максимального значения скорости. Обозначим максимальную скорость как \(v_{\text{max}}\). Используя данную информацию, мы можем записать:

\[v = 0.7v_{\text{max}}\]

Теперь у нас есть два уравнения, и мы можем решить их для определения смещения груза.

Исключим \(t\) из уравнений, получим:

\[\frac{dx}{dt} = \frac{v_{\text{max}}}{0.7}\]

Теперь проинтегрируем это уравнение от нулевого смещения \(x = 0\) до смещения \(x\):

\[\int_{0}^{x}dx = \frac{v_{\text{max}}}{0.7} \int_{0}^{t}dt\]

\[x = \frac{v_{\text{max}}}{0.7}t\]

Теперь мы можем подставить это выражение в уравнение закона Гука:

\[mg = kx\]

\[mg = k \cdot \frac{v_{\text{max}}}{0.7}t\]

Решим это уравнение для \(x\):

\[x = \frac{0.7mg}{k}t\]

Таким образом, мы получили выражение для смещения груза относительно положения равновесия в зависимости от времени \(t\).