Какое сравнение можно сделать между площадями поверхностей тел вращения прямоугольной трапеции при вращении вокруг

Осень

3

Для начала рассмотрим понятие площади поверхности тела вращения. Когда мы вращаем фигуру, например, прямоугольную трапецию, вокруг оси, она образует объемное тело. При этом, поверхность этого тела, называемая поверхностью вращения, представляет собой образ, полученный при вращении исходной фигуры вокруг оси.

Теперь перейдем к сравнению площадей поверхностей тел вращения прямоугольной трапеции при вращении вокруг ее меньшего и большего оснований. Представим, что у нас есть прямоугольная трапеция с основаниями \(a\) и \(b\), и высотой \(h\). При вращении вокруг меньшего основания (так что основание \(a\) оказывается в оси вращения), получается объемное тело, у которого боковые поверхности имеют форму конуса. Обозначим площадь поверхности этого тела при вращении вокруг меньшего основания как \(S_1\).

Теперь, при вращении трапеции вокруг большего основания (так что основание \(b\) оказывается в оси вращения), получается другое объемное тело, у которого боковая поверхность представляет собой усеченный конус. Обозначим площадь поверхности этого тела при вращении вокруг большего основания как \(S_2\).

Теперь посмотрим на саму формулу для площади поверхности одного конуса и усеченного конуса. Площадь поверхности поворачивающегося тела можно вычислить с помощью формулы:
\(S = 2\pi R l\),
где \(R\) - радиус окружности на максимальном расстоянии от оси вращения, а \(l\) - длина окружности на этом расстоянии.

Теперь, зная это, рассмотрим площадь поверхности при вращении вокруг меньшего основания. Радиус \(R_1\) будет равен \(h\), а длина окружности \(l_1\) - \(b\) (так как основание \(b\) является окружностью наибольшего расстояния). Подставим значения в формулу:
\(S_1 = 2\pi h b\).

Теперь, посмотрим на площадь поверхности при вращении вокруг большего основания. Радиус \(R_2\) будет равен \(h\), а длина окружности \(l_2\) - \(a\) (так как основание \(a\) является окружностью наибольшего расстояния). Подставим значения в формулу:
\(S_2 = 2\pi h a\).

Таким образом, мы выяснили, что площадь поверхности тела вращения прямоугольной трапеции при вращении вокруг ее меньшего основания \(S_1\) равняется \(2\pi h b\), а при вращении вокруг большего основания \(S_2\) равняется \(2\pi h a\).

Теперь перейдем к объему тела вращения равнобочной трапеции при вращении вокруг меньшего основания. Обозначим объем этого тела как \(V\). Для вычисления объема тела вращения равнобочной трапеции используется формула:
\(V = \frac{1}{3}\pi R^2 h\),
где \(R\) - радиус основания вращаемого тела, а \(h\) - высота боковой поверхности этого тела.

В нашем случае, \(R\) равен \(h\), а \(h\) равна \(b\) (высота равнобочной трапеции). Подставим значения в формулу:
\(V = \frac{1}{3}\pi h^3\).

Таким образом, мы получили, что объем тела вращения равнобочной трапеции, при вращении вокруг меньшего основания, равен \(\frac{1}{3}\pi h^3\).

Вот и все! Мы рассмотрели, какое сравнение можно сделать между площадями поверхностей тел вращения прямоугольной трапеции при вращении вокруг ее меньшего и большего оснований, и объяснили, что представляет собой объем тела вращения равнобочной трапеции при вращении вокруг меньшего основания.