Какое среднее количество гаек будет извлечено ученым до того момента, когда он найдет 5 гаек с левой резьбой?

Zagadochnaya_Luna

15

Для решения данной задачи мы можем использовать концепцию математического ожидания.

Для начала, давайте проанализируем условие задачи. Акцент сделан на извлечение гаек с левой резьбой, поэтому мы рассмотрим только такие гайки.

Пусть среднее количество извлеченных гаек до того момента, когда будет найдено 5 гаек с левой резьбой, равно X.

Рассмотрим первую гайку. Вероятность того, что первая извлеченная гайка будет иметь левую резьбу, равна 5/10 = 1/2. После извлечения первой гайки с левой резьбой, у нас останется 4 гайки с левой резьбой и 5 гаек с правой резьбой. Таким образом, вероятность того, что вторая гайка будет иметь левую резьбу, равна 4/(4+5) = 4/9.

С применением аналогичного рассуждения для каждой последующей гайки, мы получим следующую прогрессию:
1/2, 4/9, 3/8, 2/7, 1/6

Заметим, что это убывающая прогрессия, где каждый член равен предыдущему, умноженному на (n-1)/n, где n - номер члена прогрессии. На финальном шаге (5-ый член) мы получаем 1/6.

Теперь мы можем использовать формулу для суммы первых n членов убывающей геометрической прогрессии, чтобы найти среднее количество извлеченных гаек до момента, когда будет найдено 5 гаек с левой резьбой.

\[ X = \frac{a_1 (1 - q^n)}{1 - q} \]

где:
a1 - первый член последовательности (вероятность первой гайки)
q - знаменатель прогрессии (коэффициент, на который умножается каждый член)
n - количество гаек до момента, когда будет найдено 5 гаек с левой резьбой (в данной задаче n=5)

Подставим соответствующие значения и рассчитаем:

\[ X = \frac{\frac{1}{2} (1 - \left(\frac{5}{6}\right)^5)}{1 - \frac{5}{6}} \]

Вычисляя данное выражение, получаем:

\[ X = \frac{31}{6} \approx 5,1667 \]

Таким образом, ожидаемое среднее количество извлеченных гаек до того момента, когда будет найдено 5 гаек с левой резьбой, равно примерно 5,1667 гаек.