Какое уравнение горизонтальной асимптоты можно составить для графика последовательности Yn=3/n²+1/n-3?

Океан

8

Хорошо, давайте начнем с решения задачи. У нас дана последовательность \(Y_n = \frac{3}{n^2} + \frac{1}{n} - 3\). Мы хотим найти уравнение горизонтальной асимптоты для этой последовательности.

Горизонтальная асимптота - это линия, которая приближает график функции, но никогда не пересекает его. Для определения горизонтальной асимптоты нужно анализировать поведение функции при стремлении аргумента к бесконечности.

Чтобы найти горизонтальную асимптоту, возьмем предел нашей последовательности, когда \(n\) стремится к бесконечности:

\[\lim_{{n\to\infty}} \left(\frac{3}{n^2} + \frac{1}{n} - 3\right)\]

Чтобы упростить решение, сначала посмотрим на каждое слагаемое отдельно.

1. Посмотрим на \(\frac{3}{n^2}\). При \(n\to\infty\), знаменатель \(n^2\) будет стремиться к бесконечности, а числитель останется константой (\(3\)). Таким образом, \(\frac{3}{n^2}\) будет стремиться к \(0\).

2. Рассмотрим \(\frac{1}{n}\). Аналогично, при \(n\to\infty\), знаменатель \(n\) также будет стремиться к бесконечности, а числитель (\(1\)) останется константой. Следовательно, \(\frac{1}{n}\) также будет стремиться к \(0\).

Теперь объединим полученные значения:

\[\lim_{{n\to\infty}} \left(\frac{3}{n^2} + \frac{1}{n} - 3\right) = 0 + 0 - 3 = -3\]

Таким образом, мы нашли, что предел последовательности \(Y_n\) при \(n\to\infty\) равен \(-3\).

Теперь, когда мы знаем, что предел равен \(-3\), мы можем записать уравнение горизонтальной асимптоты:

\[y = -3\]

Итак, уравнение горизонтальной асимптоты для графика последовательности \(Y_n = \frac{3}{n^2} + \frac{1}{n} - 3\) является \(y = -3\).