Какое уравнение можно сформулировать для касательной к графику функции f(x)= x^2 + 3x + 5, проходящей через точку (0,1
Какое уравнение можно сформулировать для касательной к графику функции f(x)= x^2 + 3x + 5, проходящей через точку (0,1) и с абсциссой точки касания, являющейся отрицательным числом?
Svetik 18
Чтобы найти уравнение касательной к графику функции \(f(x) = x^2 + 3x + 5\) искомого типа, мы должны учесть два условия:1) Касательная проходит через точку (0,1).
2) Абсцисса точки касания является отрицательным числом.
Для начала, найдем производную функции \(f(x)\) для определения наклона касательной в каждой точке:
\[f"(x) = 2x + 3\]
Затем, подставим значение точки (0,1) в уравнение функции и ее производной. При \(x = 0\), значение функции равно 1:
\[f(0) = 0^2 + 3 \cdot 0 + 5 = 5\]
Теперь мы можем составить уравнение касательной, используя формулу:
\[y - y_1 = m(x - x_1)\]
где \(m\) - наклон касательной, \((x_1, y_1)\) - координаты точки касания.
Подставим известные значения:
\[y - 1 = (2 \cdot 0 + 3)(x - 0)\]
Сократим выражение:
\[y - 1 = 3x\]
Теперь мы знаем, что уравнение касательной имеет вид \(y = 3x + 1\). Необходимо найти абсциссу точки касания, которая является отрицательным числом. Для этого, подставим это уравнение в уравнение функции и найдем значение \(x\):
\[x^2 + 3x + 5 = 3x + 1\]
Перенесем все в левую часть:
\[x^2 - 2x + 4 = 0\]
Это квадратное уравнение, которое можно решить с помощью дискриминанта:
\[D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 4 - 16 = -12\]
Поскольку дискриминант отрицательный, уравнение не имеет действительных корней. Следовательно, уравнение \(x^2 - 2x + 4 = 0\) не имеет отрицательных корней.
Таким образом, с заданными условиями невозможно сформулировать уравнение касательной к графику функции \(f(x) = x^2 + 3x + 5\), проходящей через точку (0,1) и с абсциссой точки касания, являющейся отрицательным числом.