Какое уравнение нормали к графику функции y=e^x можно составить в точке М(0,1)?

Пугающий_Динозавр_2107

61

Чтобы составить уравнение нормали к графику функции \(y=e^x\) в точке М(0,1), мы должны знать, что нормаль является перпендикулярной касательной к данной кривой в этой точке.

Для начала найдем производную функции \(y=e^x\). Производная функции \(y=e^x\) равна \(y"=e^x\), потому что производная от функции \(e^x\) равна самой функции.

Теперь найдем значение производной в точке М(0,1). Подставим \(x=0\) в \(y"=e^x\):
\[y"(0)=e^0=1\]

Таким образом, значение производной функции \(y=e^x\) в точке М(0,1) равно 1.

Теперь находим уравнение касательной в этой точке, используя найденное значение производной. Уравнение касательной имеет вид:
\[y-y_1=m(x-x_1)\]
где \((x_1, y_1)\) - координаты точки М(0,1), а \(m\) - значение производной в этой точке.

Подставляя значения, получаем:
\[y-1=1(x-0)\]
\[y-1=x\]

Таким образом, уравнение касательной к графику функции \(y=e^x\) в точке М(0,1) равно \(y-1=x\).

Теперь, чтобы найти уравнение нормали, мы должны найти угловой коэффициент \(k\) нормали. Уравнение нормали имеет вид:
\[y-y_1=k(x-x_1)\]

Нормаль будет перпендикулярной к касательной, значит произведение их угловых коэффициентов будет равно -1:
\[k \cdot 1 = -1\]
\[k=-1\]

Теперь подставляем полученные значения в уравнение нормали:
\[y-1=-1(x-0)\]
\[y-1=-x\]
\[y=-x+1\]

Таким образом, уравнение нормали к графику функции \(y=e^x\) в точке М(0,1) имеет вид \(y=-x+1\).