Какое уравнение составлено на основе корней квадратного уравнения √2 и -√8? a)x^2+√2x-4=0 b)x^2-√2x-4=0 c)x^2-√x-16=0

Veronika

48

Чтобы составить уравнение, основанное на корнях квадратного уравнения \(\sqrt{2}\) и \(-\sqrt{8}\), нужно использовать следующий подход.

Мы знаем, что корни квадратного уравнения могут быть получены из выражения \(x - \alpha = 0\), где \(\alpha\) - корень квадратного уравнения. Если имеется корень \(\sqrt{2}\), то для этого корня у нас будет уравнение \(x - \sqrt{2} = 0\). Аналогично, для корня \(-\sqrt{8}\) получим уравнение \(x + \sqrt{8} = 0\).

Однако, чтобы составить квадратное уравнение, нам нужно использовать выражение \((x - \alpha)(x - \beta) = 0\), где \(\beta\) - другой корень квадратного уравнения. В нашем случае, у нас есть корни \(\sqrt{2}\) и \(-\sqrt{8}\), значит у нас будет следующее уравнение:

\((x - \sqrt{2})(x + \sqrt{8}) = 0\)

Давайте упростим его. Заметим, что \(\sqrt{8}\) можно переписать как \(\sqrt{4 \cdot 2}\). Тогда получим:

\((x - \sqrt{2})(x - \sqrt{4 \cdot 2}) = 0\)

Так как \(\sqrt{4 \cdot 2} = \sqrt{8} = \sqrt{2^3} = \sqrt{2} \cdot \sqrt{2^2} = \sqrt{2} \cdot 2\), мы можем записать уравнение в следующем виде:

\((x - \sqrt{2})(x - \sqrt{2} \cdot 2) = 0\)

Далее, можно раскрыть скобки и упростить:

\(x^2 - \sqrt{2} \cdot 2x - \sqrt{2}x + (\sqrt{2})^2 \cdot 2 = 0\)

\(x^2 - 2\sqrt{2}x - \sqrt{2}x + 2 \cdot 2 = 0\)

\(x^2 - (\sqrt{2} + \sqrt{2})x + 4 = 0\)

Итак, уравнение, составленное на основе корней квадратного уравнения \(\sqrt{2}\) и \(-\sqrt{8}\), это:

\[x^2 - 2\sqrt{2}x - \sqrt{2}x + 4 = 0\]

Или, можно упростить его еще дальше:

\[x^2 - (\sqrt{2} + \sqrt{2})x + 4 = 0\]

Таким образом, правильный ответ на задачу: вариант \(d\) \(x^2 - \sqrt{2}x + 4 = 0\).