Какое уравнение можно составить для плоскости, которая перпендикулярна плоскости 2x-2y + 4z-5 = 0, и отсекает на

Sherhan_619

36

Для решения данной задачи, нам необходимо составить уравнение плоскости, которая является перпендикулярной к заданной плоскости и отсекает на осях \(Ox\) и \(Oy\) отрезки длиной \(a = 3\) и \(b\).

Для начала, найдем нормальный вектор к заданной плоскости, вектор, перпендикулярный плоскости. Коэффициенты перед \(x\), \(y\) и \(z\) в уравнении плоскости представляют собой компоненты этого вектора.

Так как у нас дано уравнение плоскости \(2x-2y + 4z-5 = 0\), мы можем просто взять коэффициенты перед \(x\), \(y\) и \(z\) и получить вектор нормали: \((2, -2, 4)\).

Теперь у нас есть нормальный вектор, который указывает в сторону перпендикулярной плоскости. Для составления уравнения плоскости, нам понадобится еще одна точка на данной плоскости.

Возьмем точку \((0, 0, 0)\), так как плоскость пересекает оси на нулевых координатах. Теперь у нас есть нормальный вектор и точка на перпендикулярной плоскости.

Используя эти данные, мы можем записать уравнение плоскости в общем виде. Пусть уравнение искомой плоскости будет \(Ax + By + Cz + D = 0\).

Так как наша плоскость перпендикулярна к заданной, нормальный вектор \((A, B, C)\) должен быть перпендикулярен нормальному вектору заданной плоскости \((2, -2, 4)\). Это означает, что скалярное произведение нормальных векторов должно быть равно нулю:

\[A \cdot 2 + B \cdot (-2) + C \cdot 4 = 0.\]

Раскрывая эту формулу, получим уравнение:

\[2A - 2B + 4C = 0.\]

Также, искомая плоскость проходит через точку \((0, 0, 0)\), поэтому если подставить координаты этой точки в уравнение, мы получим:

\[0 \cdot A + 0 \cdot B + 0 \cdot C + D = 0,\]

что приводит к уравнению

\[D = 0.\]

Таким образом, получаем уравнение плоскости:

\[2x - 2y + 4z = 0.\]

Теперь, чтобы плоскость отсекла отрезки на осях \(Ox\) и \(Oy\) длиной \(a = 3\) и \(b\), мы можем использовать эти отрезки, чтобы определить значения \(x\) и \(y\), на которых плоскость пересекает оси.

Расставим значения и решим уравнения:

При \(x = a = 3\):

\[2 \cdot 3 - 2y + 4z = 0.\]

\[6 - 2y + 4z = 0.\]

\[4z = -6 + 2y.\]

\[z = -\frac{6}{4} + \frac{2}{4}y.\]

\[z = -\frac{3}{2} + \frac{1}{2}y.\]

Получаем соотношение между \(z\) и \(y\).

Далее, при \(y = b\):

\[2x - 2b + 4z = 0.\]

\[2x = 2b - 4z.\]

\[x = b - 2z.\]

Получаем соотношение между \(x\) и \(z\).

Таким образом, уравнение плоскости, которая перпендикулярна заданной плоскости и отсекает на оси \(Ox\) и \(Oy\) отрезки длиной \(a = 3\) и \(b\), будет иметь вид:

\[x = b - 2z\]

\[z = -\frac{3}{2} + \frac{1}{2}y\]