Какое ускорение свободного падения оказывает Сатурн на свой спутник Япет, который находится от планеты на среднем

Дракон

49

Для решения этой задачи мы будем использовать закон универсального гравитационного взаимодействия. Он гласит: \[F = G \cdot \dfrac{m_1 \cdot m_2}{r^2}\], где \(F\) - сила гравитационного притяжения между двумя телами, \(G\) - гравитационная постоянная (\(6.67430 \times 10^{-11}\, \text{м}^3 \, \text{кг}^{-1} \, \text{с}^{-2}\)), \(m_1\) и \(m_2\) - массы двух тел, \(r\) - расстояние между центрами масс тел.

Мы можем использовать эту формулу для вычисления ускорения свободного падения на поверхности Сатурна (\(a_{\text{Сатурн}}\)) и сравнить его с ускорением свободного падения на поверхности Япета (\(a_{\text{Япет}}\)).

Для начала нам нужно найти массу Япета, используя его средний радиус (\(R_{\text{Япет}}\)) и плотность (\(\rho_{\text{Япет}}\)). Формула для массы тела: \[m = \rho \cdot \dfrac{4}{3} \pi R^3\].

Затем мы можем использовать полученное значение массы Япета и массу Сатурна (\(m_{\text{Сатурн}}\)) для вычисления силы гравитационного притяжения между ними. Для этого воспользуемся формулой: \[F_{\text{Япет-Сатурн}} = G \cdot \dfrac{m_{\text{Сатурн}} \cdot m_{\text{Япет}}}{r^2}\].

Теперь, чтобы найти ускорение свободного падения на Япете (\(a_{\text{Япет}}\)), мы делим полученную силу на массу Япета: \[a_{\text{Япет}} = \dfrac{F_{\text{Япет-Сатурн}}}{m_{\text{Япет}}}\].

Итак, давайте начнем с вычисления массы Япета:

\[m_{\text{Япет}} = \rho_{\text{Япет}} \cdot \dfrac{4}{3} \pi R_{\text{Япет}}^3\]

Подставляем известные значения (плотность Япета составляет приблизительно \(1.09 \, \text{г/см}^3\)):

\[m_{\text{Япет}} = 1.09 \times 10^3 \, \text{кг/м}^3 \cdot \dfrac{4}{3} \cdot \pi \cdot (1494 \times 10^3 \, \text{м})^3\]

Вычисляем значение массы Япета:

\[m_{\text{Япет}} \approx 1.09 \times 10^3 \, \text{кг/м}^3 \cdot \dfrac{4}{3} \cdot 3.14 \cdot (1494 \times 10^3)^3 \, \text{кг}\]

Теперь вычисляем силу гравитационного притяжения между Япетом и Сатурном:

\[F_{\text{Япет-Сатурн}} = G \cdot \dfrac{m_{\text{Сатурн}} \cdot m_{\text{Япет}}}{r^2}\]

Подставляем известные значения (значение \(G\) уже указано):

\[F_{\text{Япет-Сатурн}} = 6.67430 \times 10^{-11} \, \text{м}^3 \, \text{кг}^{-1} \, \text{с}^{-2} \cdot \dfrac{(57 \times 10^{25} \, \text{кг}) \cdot (m_{\text{Япет}})}{(3561 \times 10^{3} \, \text{м})^2}\]

Теперь вычисляем значение силы гравитационного притяжения:

\[F_{\text{Япет-Сатурн}} \approx 6.67430 \times 10^{-11} \cdot \left(57 \times 10^{25}\right) \cdot \left(\dfrac{1.09 \times 10^3 \cdot (4/3) \cdot 3.14 \cdot (1494 \times 10^3)^3}{(3561 \times 10^3)^2}\right) \, \text{Н}\]

Наконец, вычисляем ускорение свободного падения на Япете:

\[a_{\text{Япет}} = \dfrac{F_{\text{Япет-Сатурн}}}{m_{\text{Япет}}}\]

Подставляем значения силы и массы:

\[a_{\text{Япет}} = \dfrac{F_{\text{Япет-Сатурн}}}{1.09 \times 10^3 \cdot \left(\dfrac{4}{3} \cdot 3.14 \cdot (1494 \times 10^3)^3\right)} \, \text{м/c}^2\]

Мы можем вычислить это значение, подставив численные значения.