Какое ускорение точки будет в моменты времени, указанные ниже, если ее скорость при прямолинейном движении задана

  • 66
Какое ускорение точки будет в моменты времени, указанные ниже, если ее скорость при прямолинейном движении задана следующими уравнениями: 1) v=t^2+t-1, t=3 2) s=корень из t, t=1 3) s=t^2+11t+30, t=3. Пожалуйста, много.
Полосатик
62
Хорошо, давайте решим эти задачи по порядку и найдем ускорение точки в каждый из указанных моментов времени.

1) Для начала найдем производную от функции скорости, чтобы получить функцию ускорения. Дано, что \(v = t^2 + t - 1\). Чтобы найти производную, применим правило дифференцирования для суммы и произведения функций:

\[
\frac{{dv}}{{dt}} = \frac{{d}}{{dt}}(t^2 + t - 1) = \frac{{d}}{{dt}}t^2 + \frac{{d}}{{dt}}t - \frac{{d}}{{dt}}1
\]

Далее, используем правило дифференцирования для степенной функции \(t^n\), что дает нам:

\[
\frac{{dv}}{{dt}} = 2t + 1
\]

Теперь подставим значение \(t = 3\) в полученное выражение:

\[
a = 2(3) + 1 = 6 + 1 = 7
\]

Таким образом, ускорение точки в момент времени \(t = 3\) равно \(7\).

2) У нас дано выражение для пути \(s\), а не для скорости \(v\). Но мы можем использовать тот факт, что скорость - производная пути по времени. Так что найдем производную функции \(s\) по \(t\):

\[
\frac{{ds}}{{dt}} = \frac{{d}}{{dt}}(\sqrt{t})
\]

Чтобы найти производную корня, применим формулу дифференцирования сложной функции:

\[
\frac{{ds}}{{dt}} = \frac{{d}}{{dt}}(t^{\frac{1}{2}}) = \frac{1}{2}(t^{-\frac{1}{2}}) = \frac{1}{2\sqrt{t}}
\]

Теперь подставим значение \(t = 1\) в полученное выражение:

\[
a = \frac{1}{{2\sqrt{1}}} = \frac{1}{2}
\]

Таким образом, ускорение точки в момент времени \(t = 1\) равно \(0.5\).

3) Здесь у нас опять дано выражение для пути \(s\), а не для скорости \(v\). Но мы можем использовать тот факт, что скорость - производная пути по времени. Так что найдем производную функции \(s\) по \(t\):

\[
\frac{{ds}}{{dt}} = \frac{{d}}{{dt}}(t^2 + 11t + 30)
\]

Дифференцируем каждый член выражения, используя правило дифференцирования для суммы и произведения функций:

\[
\frac{{ds}}{{dt}} = \frac{{d}}{{dt}}(t^2) + \frac{{d}}{{dt}}(11t) + \frac{{d}}{{dt}}(30)
\]

Получаем:

\[
\frac{{ds}}{{dt}} = 2t + 11
\]

Теперь подставим значение \(t = 3\) в полученное выражение:

\[
a = 2(3) + 11 = 6 + 11 = 17
\]

Таким образом, ускорение точки в момент времени \(t = 3\) равно \(17\).

Надеюсь, этот подробный ответ помог вам понять, как найти ускорение точки в каждом из указанных моментов времени.