Какое ускорение у тела, когда его смещение составляет половину амплитуды и его координата изменяется по закону х

Сумасшедший_Кот

37

Для решения данной задачи, нам понадобится использовать формулу ускорения \(a = -\omega^2 x\), где \(a\) - ускорение, \(\omega\) - угловая скорость, а \(x\) - координата.

В данной задаче, координата \(x\) задана уравнением \(x = -3 \sin(2t)\), где \(t\) - время.
Для начала, найдем первую производную от \(x\) по времени \(t\), чтобы найти скорость тела.

\[\frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(-3 \sin(2t))\]

Используя правило дифференцирования функции синуса и умножение на константу, получаем:

\[\frac{dx}{dt} = -3 \cdot \frac{d}{dt}(\sin(2t)) = -3 \cdot 2 \cos(2t)\]

Теперь, найдем вторую производную от \(x\) по времени, чтобы найти ускорение тела:

\[\frac{d^2x}{dt^2} = \frac{d}{dt}(-3 \cdot 2 \cos(2t))\]

Используя правило дифференцирования функции косинуса, получаем:

\[\frac{d^2x}{dt^2} = -3 \cdot 2 \cdot -2 \sin(2t) = 12 \sin(2t)\]

Таким образом, ускорение тела равно \(a = 12 \sin(2t)\).

В задаче также упоминается, что смещение тела составляет половину амплитуды. Амплитуда синусоидальной функции равна максимальному значению координаты, поэтому половина амплитуды равна \(A/2\), где \(A\) - амплитуда.

В данном случае, амплитуда синусоиды равна 3, поэтому половина амплитуды составляет \(3/2\).

Теперь, учитывая это условие, нам нужно найти значения времени \(t\), при которых значение синуса равно \(-3/2\).

\[-\frac{3}{2} = \sin(2t)\]

Решим это уравнение, возьмем обратный синус от обеих сторон:

\[\arcsin\left(-\frac{3}{2}\right) = 2t\]

Однако, обратный синус имеет диапазон значения только от \(-\frac{\pi}{2}\) до \(\frac{\pi}{2}\), а у нас совпадение происходит за границами этого диапазона.

Значит, чтобы найти все значения \(t\), нам нужно использовать дополнительные свойства синусоидальной функции.

Синус функция предполагает, что имеет период \(2\pi\). Следовательно, значения \(2t\) должны представлять собой все углы, на которых синус функция равна \(-3/2\), а их разница должна быть кратной периоду \(2\pi\).

Итак, решим следующее уравнение:

\[\arcsin\left(-\frac{3}{2}\right) = 2t + 2\pi k\]

Где \(k\) - целое число, отвечающее за количество полных периодов функции.

Вычисляем значения \(\arcsin\left(-\frac{3}{2}\right)\):

\[2t = \arcsin\left(-\frac{3}{2}\right) - 2\pi k\]

Теперь, чтобы найти значения \(t\), делим обе стороны на 2:

\[t = \frac{1}{2}\left(\arcsin\left(-\frac{3}{2}\right) - 2\pi k\right)\]

Таким образом, ускорение тела в заданный момент времени \(t\) равно \(a = 12 \sin(2t)\), где значения времени \(t\) вычисляются по формуле \(t = \frac{1}{2}\left(\arcsin\left(-\frac{3}{2}\right) - 2\pi k\right)\), где \(k\) - целое число, отвечающее за количество полных периодов функции. Ответ можно записать в более упрощенном виде в зависимости от требований задачи.