Какое время займет шару подняться, если на его пути вверх действует сила сопротивления воздуха, пропорциональная

Skolzkiy_Baron

18

Хорошо, чтобы решить эту задачу, мы можем использовать второй закон Ньютона: сумма всех сил, действующих на шар, равна произведению массы шара на его ускорение. В этой задаче мы имеем две силы, действующие на шар: сила тяжести \(F_g\) и сила сопротивления воздуха \(F_c\).

Сила тяжести \(F_g\) можно выразить как произведение массы шара на ускорение свободного падения \(g\). Таким образом, \(F_g = mg\), где \(m\) - масса шара.

Сила сопротивления воздуха \(F_c\) пропорциональна скорости шара и обратно пропорциональна постоянной сопротивления \(k\). Мы можем записать ее как \(F_c = -kv\), где \(v\) - скорость шара.

Теперь, когда у нас есть выражения для силы тяжести \(F_g\) и силы сопротивления воздуха \(F_c\), мы можем составить уравнение второго закона Ньютона:

\[ma = F_g + F_c\]

Подставляя выражения для \(F_g\) и \(F_c\), получаем:

\[ma = mg - kv\]

Далее, мы знаем, что ускорение равно производной скорости по времени \(a = \frac{{dv}}{{dt}}\). Замена ускорения на производную позволяет нам перейти к дифференциальному уравнению:

\[m \frac{{dv}}{{dt}} = mg - kv\]

Для решения этого дифференциального уравнения мы можем разделить переменные и проинтегрировать обе стороны:

\[m \int \frac{{1}}{{mg - kv}} dv = \int dt\]

Выполняя интегрирование, получаем:

\[m \ln|mg - kv| = t + C\]

Где \(C\) - постоянная интегрирования.

Теперь, для нахождения времени, затраченного на подъем шара, нам нужно решить это уравнение относительно времени \(t\). Для этого давайте изолируем \(mg - kv\):

\[\ln|mg - kv| = \frac{{t}}{{m}} + C_1\]

Где \(C_1\) - новая постоянная интегрирования. Поскольку логарифмическая функция принимает только положительные значения, мы можем убрать абсолютное значение и написать:

\(mg - kv = e^{(\frac{{t}}{{m}} + C_1)}\)

Теперь давайте переместим все константы в новую константу \(C_2 = e^{C_1}\):

\(mg - kv = C_2e^{\frac{{t}}{{m}}}\)

Теперь, для нахождения времени, нам нужно изолировать \(t\). Давайте поделим обе стороны на \(C_2\) и возьмем натуральный логарифм:

\[ \frac{{mg - kv}}{{C_2}} = e^{\frac{{t}}{{m}}}\]

\[\ln\left(\frac{{mg - kv}}{{C_2}}\right) = \frac{{t}}{{m}}\]

Отсюда мы можем найти время:

\[t = m\ln\left(\frac{{mg - kv}}{{C_2}}\right)\]

Таким образом, время, затраченное на подъем шара, будет равно \(t = m\ln\left(\frac{{mg - kv}}{{C_2}}\right)\), где \(m\) - масса шара, \(k\) - постоянная сопротивления воздуха, \(v\) - начальная скорость шара, \(g\) - ускорение свободного падения, \(C_2\) - постоянная интегрирования.