Какое является верным написанием скобок для ответа на графическое неравенство x^-3 < √x при x∈ _?_ ;+∞? Ответ

Чернышка

30

Для решения данной задачи рассмотрим графическое неравенство по отдельности.

1. x^{-3} < √x
Начнем с определения области определения для данного неравенства. Так как в знаменателе имеется степень x^{-3}, то значения x не могут быть равными нулю (т.к. 0^{-3} неопределено). Следовательно, область определения данного неравенства включает все значения x, кроме нуля.

Для построения графика левой части неравенства, рассмотрим функцию f(x) = x^{-3} и найдем ее характеристики. Исследуем, как функция f(x) меняется при изменении значений x.

Вычислим производные функции, чтобы найти ее поведение на интервалах:
f"(x) = -3x^{-4}
f""(x) = 12x^{-5}

При анализе производных можно заметить, что функция увеличивается на интервале (0, +∞), и сходится к нулю при x \rightarrow +∞. Кроме того, функция не определена для x=0.

Теперь построим график функции f(x) = x^{-3}:

\[
\begin{align*}
\begin{tikzpicture}

\begin{axis}[
axis lines = middle,
xlabel = $x$,
ylabel = {$f(x)$},
]

\addplot [
domain=0.001:10,
samples=100,
color=blue,
]
{x^(-3)};
\end{axis}

\end{tikzpicture}
\end{align*}
\]

Видим, что график функции f(x) стремится к плюс бесконечности при $x \rightarrow 0^+$ и к нулю при $x \rightarrow +\infty$.

Теперь рассмотрим функцию f(x) = √x и найдем область определения.

Так как корень из x является вещественным только при x ≥ 0, то область определения неравенства f(x) = √x - это все неотрицательные значения x.

Построим график функции f(x) = √x:

\[
\begin{align*}
\begin{tikzpicture}

\begin{axis}[
axis lines = middle,
xlabel = $x$,
ylabel = {$f(x)$},
]

\addplot [
domain=0:10,
samples=100,
color=red,
]
{sqrt(x)};
\end{axis}

\end{tikzpicture}
\end{align*}
\]

На графике видно, что функция f(x) = √x увеличивается на всем интервале [0, +∞) и принимает значения от нуля включительно.

Теперь найдем область значений, которая удовлетворяет неравенству x^{-3} < √x. Это будет пересечение области определения обоих функций.

Область значений, при которых выполняется неравенство x^{-3} < √x, можно записать в виде интервала или объединения интервалов. Например, мы можем записать ответ следующим образом:

Для x∈ (0, +∞), кроме x=0.

Таким образом, верным ответом на задачу является интервал (0, +∞), исключая значение x=0.