Какое значение должно иметь параметр с, чтобы прямая у=5х+1 была касательной к графику функции у=х^2+13х+с? Какое

Puma

52

Для того чтобы прямая \(y = 5x + 1\) была касательной к графику функции \(y = x^2 + 13x + c\), необходимо, чтобы значение параметра \(c\) было таким, что графики этих функций имели одну и только одну общую точку касания.

Чтобы найти значение параметра \(c\), мы должны приравнять производную функции \(y = x^2 + 13x + c\) к производной прямой \(y = 5x + 1\), так как касательная имеет одинаковый наклон с функцией в этой точке касания.

Давайте продолжим этот процесс:

1. Найдем производные функций.

\(y = x^2 + 13x + c\)
Первая производная: \(\frac{{dy}}{{dx}} = 2x + 13\)

\(y = 5x + 1\)
Первая производная: \(\frac{{dy}}{{dx}} = 5\)

2. Приравняем производные.

\(\frac{{dy}}{{dx}} = 2x + 13 = 5\)

3. Решим уравнение относительно \(x\).

\(2x + 13 = 5\)
\(2x = -8\)
\(x = -4\)

Таким образом, значение параметра \(c\) можно найти, подставив \(x = -4\) в любую из исходных функций. Давайте выберем функцию \(y = x^2 + 13x + c\) и найдем значение \(c\).

\(y = (-4)^2 + 13(-4) + c\)
\(y = 16 - 52 + c\)
\(y = -36 + c\)

В исходной задаче сказано, что прямая \(y = 5x + 1\) касается графика функции, поэтому они должны иметь только одну общую точку. Значит, значение \(c\) должно быть таким, чтобы при подставлении \(x = -4\) в функцию \(y = -36 + c\) получалось значение \(y\), соответствующее прямой \(y = 5x + 1\).

\(5(-4) + 1 = -20 + 1 = -19\)

Таким образом, значение параметра \(c\) должно быть равно \(-19\), чтобы прямая \(y = 5x + 1\) была касательной к графику функции \(y = x^2 + 13x + c\).

Кроме того, можно найти другое значение параметра \(c\), при котором прямая \(y = 5x + 1\) станет касательной. Для этого необходимо найти вторую общую точку графиков функций. Подставим значение \(c = -19\) в функцию \(y = x^2 + 13x + c\) и решим уравнение:

\(x^2 + 13x + (-19) = 5x + 1\)

\(x^2 + 8x - 20 = 0\)

Решим это уравнение, используя, например, квадратное уравнение:

\(x = \frac{{-8 \pm \sqrt{{8^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-20)}}}}{{2 \cdot 1}}\)

\(x = \frac{{-8 \pm \sqrt{{64 + 80}}}}{{2}}\)

\(x = \frac{{-8 \pm \sqrt{{144}}}}{{2}}\)

\(x = \frac{{-8 \pm 12}}{{2}}\)

Два возможных значения для \(x\) при данном параметре \(c = -19\) получаются следующим образом:

\(x_1 = \frac{{-8 + 12}}{{2}} = 2\)
\(x_2 = \frac{{-8 - 12}}{{2}} = -10\)

Таким образом, при \(c = -19\) функция \(y = x^2 + 13x + c\) и прямая \(y = 5x + 1\) имеют две общие точки: \((2, 11)\) и \((-10, -49)\).