Какое значение функции [tex]y = log_{2}( - 60 - 16x - {x}^{2} ) - 3[/tex] является наибольшим?

Sladkaya_Vishnya

16

Для решения этой задачи, нам необходимо найти максимальное значение функции \(y = \log_{2}(-60 - 16x - x^{2}) - 3\).

Для начала, нужно понять, при каком значении аргумента выражение в логарифме будет максимальным. Обратите внимание, что под логарифмом должно быть отрицательное число, иначе логарифм не определен.

Следовательно, необходимо найти значения \(x\), при которых выражение \(-60 - 16x - x^{2}\) отрицательно.

Для этого, приведем данное выражение к более удобному виду и решим полученное квадратное неравенство:

\[x^{2} + 16x + 60 < 0\]

Это квадратное неравенство может быть решено с помощью факторизации или дискриминанта.

Для факторизации сначала найдем два числа, сумма которых равна 16 (коэффициент при \(x\)), а произведение равно 60:

\[x^{2} + 10x + 6x + 60 < 0\]

\[(x^{2} + 10x) + (6x + 60) < 0\]

\[x(x + 10) + 6(x + 10) < 0\]

\[(x + 6)(x + 10) < 0\]

Теперь найдем значения \(x\), для которых выражение \((x + 6)(x + 10)\) отрицательно. Нам нужны значения \(x\), для которых один из множителей отрицателен, а другой положителен.

1. Когда \((x + 6) < 0\) и \((x + 10) > 0\):

\[-6 < x < -10\]

2. Когда \((x + 6) > 0\) и \((x + 10) < 0\):

\[-10 < x < -6\]

Таким образом, решение квадратного неравенства состоит из двух интервалов: \((-10, -6)\) и \((-6, -10)\).

Вернемся к исходной функции \(y = \log_{2}(-60 - 16x - x^{2}) - 3\). Нам нужно найти максимальное значение этой функции на перечисленных интервалах.

Для этого, возьмём производную функции \(y\) и найдем ее корни:

\[\frac{d}{dx}y = \frac{d}{dx}\left(\log_{2}(-60 - 16x - x^{2}) - 3\right)\]

\[0 = \frac{1}{(-60 - 16x - x^{2})\ln{2}} \cdot \frac{d}{dx}(-60 - 16x - x^{2})\]

\[-60 - 16x - x^{2} = 0\]

Данное выражение является квадратным уравнением. Решив его, будем иметь два корня: \(x = -10\) и \(x = -6\).

Теперь, найдем значения функции \(y\) на этих точках. Подставим значения \(x\) в исходную функцию \(y\) и получим:

Для \(x = -10\):
\[y = \log_{2}(-60 - 16(-10) - (-10)^{2}) - 3\]
\[y = \log_{2}(-60 + 160 - 100) - 3\]
\[y = \log_{2}0 - 3\]

Заметим, что под логарифмом находится ноль, и логарифм от нуля не определен. Следовательно, \(x = -10\) не является допустимой точкой.

Для \(x = -6\):
\[y = \log_{2}(-60 - 16(-6) - (-6)^{2}) - 3\]
\[y = \log_{2}(-60 + 96 - 36) - 3\]
\[y = \log_{2}0 - 3\]

Здесь также получаем логарифм от нуля, что недопустимо.

Итак, исходная функция \(y = \log_{2}(-60 - 16x - x^{2}) - 3\) не имеет максимального значения на указанных интервалах.

Причина этого в том, что диапазон значений аргумента \(-60 - 16x - x^{2}\) в функции логарифма ограничен отрицательными числами. Функция логарифма с отрицательными аргументами не определена в вещественной области.

Следовательно, данной функции \(y\) не существует наибольшего значения.

Надеюсь, это объяснение позволило вам понять, почему мы не можем получить максимальное значение функции в данной задаче. Если у вас есть еще вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать!