Яка відстань пройшла точка від моменту t1 = 5 секунд до t2 = 10 секунд, якщо точка рухається прямолінійно зі швидкістю

Orel

22

Для решения этой задачи, мы должны найти расстояние (путь), пройденное точкой за указанный промежуток времени. Для начала, нужно понять, как ускорение меняется со временем и записать его в виде функции.

Нам дано, что скорость точки зависит от времени и задается формулой \(v(t) = 5t - 4 \) (м/с). Чтобы найти ускорение, мы должны взять производную от этой функции по времени. Однако, нам нужно найти не ускорение, а расстояние, и для этого нам будет достаточно использовать скорость.

Чтобы найти расстояние, мы должны проинтегрировать скорость от \(t_1\) до \(t_2\):

\[
\text{{Расстояние}} = \int_{t_1}^{t_2} v(t) \, dt
\]

Подставив формулу для скорости в интеграл, получаем:

\[
\text{{Расстояние}} = \int_{t_1}^{t_2} (5t - 4) \, dt
\]

Выполняя интегрирование, мы получаем:

\[
\text{{Расстояние}} = \left[ \frac{{5t^2}}{2} - 4t \right]_{t_1}^{t_2}
\]

Подставляем значения времени \(t_1 = 5\) секунд и \(t_2 = 10\) секунд:

\[
\text{{Расстояние}} = \left[ \frac{{5 \cdot 10^2}}{2} - 4 \cdot 10 \right] - \left[ \frac{{5 \cdot 5^2}}{2} - 4 \cdot 5 \right]
\]

Выполняя математические операции, получаем:

\[
\text{{Расстояние}} = \left[ \frac{{250}}{2} - 40 \right] - \left[ \frac{{125}}{2} - 20 \right]
\]

\[
\text{{Расстояние}} = \left[ 125 - 40 \right] - \left[ 62.5 - 20 \right]
\]

\[
\text{{Расстояние}} = 85 - 42.5
\]

\[
\text{{Расстояние}} = 42.5 \, \text{{м}}
\]

Таким образом, точка прошла расстояние 42.5 метров за указанный промежуток времени от 5 до 10 секунд.