Какое значение функции Y=(x-11)*e^12-x+13 (5; 15) является наибольшим?

Valentina

66

Чтобы найти максимальное значение функции \( Y = (x-11)e^{12-x} + 13 \) на интервале (5, 15), мы можем использовать метод дифференцирования. Давайте найдем производную этой функции и найдем моменты, где она равна нулю. Они будут представлять критические точки функции, которые могут быть минимумами или максимумами.

Для начала найдем производную функции. Для этого применим правила дифференцирования. Дифференцируем каждый член функции по отдельности, используя правило производной произведения и цепного правила:

\[ Y"(x) = (e^{12-x})(x-11)" + (x-11)(e^{12-x})" \]

\[ Y"(x) = -e^{12-x} + (x-11)e^{12-x} - e^{12-x} \]

\[ Y"(x) = (x-10)e^{12-x} - 2e^{12-x} \]

Теперь найдем критические точки, где производная равна нулю:

\[ (x-10)e^{12-x} - 2e^{12-x} = 0 \]

Мы можем упростить это выражение, разделив обе части на \( e^{12-x} \):

\[ x - 10 - 2 = 0 \]

\[ x = 12 \]

Таким образом, \( x = 12 \) является критической точкой.

Теперь нам нужно проверить, является ли эта критическая точка максимумом или минимумом. Для этого можно проанализировать вторую производную. Если вторая производная положительна, то у нас есть локальный минимум. Если вторая производная отрицательна, то у нас есть локальный максимум.

Давайте найдем вторую производную и подставим \( x = 12 \):

\[ Y""(x) = (x-10)"e^{12-x} - (x-10)(e^{12-x})" - 2(e^{12-x})" \]

\[ Y""(x) = e^{12-x} - (x-10)e^{12-x} + (x-10)e^{12-x} - 2e^{12-x} \]

\[ Y""(x) = e^{12-x} - 2e^{12-x} \]

\[ Y""(x) = -e^{12-x} < 0 \]

Таким образом, вторая производная отрицательна, что означает, что \( x = 12 \) представляет локальный максимум функции.

Теперь, чтобы найти это максимальное значение функции, мы можем подставить \( x = 12 \) обратно в исходное уравнение:

\[ Y = (12-11)e^{12-12} + 13 \]

\[ Y = e^0 + 13 \]

\[ Y = 1 + 13 \]

\[ Y = 14 \]

Таким образом, на интервале (5, 15) максимальное значение функции \( Y = (x-11)e^{12-x} + 13 \) равно 14 при \( x = 12 \).