Какое значение функции y=(x^2+18x-18)e^x будет минимальным?

Сквозь_Космос

36

Хорошо, давайте решим данную математическую задачу по шагам.

Для начала, чтобы найти минимальное значение функции y=(x^2+18x-18)e^x, мы должны найти точку экстремума этой функции.

1. Применим правило дифференцирования произведения для функции y=(x^2+18x-18)e^x. Получим первую производную, обозначенную как f"(x):

\[ f"(x) = (x^2+18x-18)e^x + (2x+18)e^x \]

2. Упростим выражение:

\[ f"(x) = (x^2+18x-18+2x+18)e^x = (x^2+20x)e^x \]

3. Для нахождения точки экстремума рассмотрим уравнение f"(x) = 0:

\[ (x^2+20x)e^x = 0 \]

Заметим, что умножение на \( e^x \) не может быть равно нулю, так как экспоненциальная функция всегда положительна. Таким образом, уравнение сводится к \( x^2+20x = 0 \).

4. Решим квадратное уравнение \( x^2+20x = 0 \). Мы можем вынести общий множитель x:

\[ x(x + 20) = 0 \]

Таким образом, получаем два значения x: x = 0 и x = -20.

5. Для определения минимального значения функции, нужно проверить значения функции в критических точках и выбрать наименьшее из них.

a) Подставим x = 0 в исходную функцию: y = (0^2+18*0-18)e^0 = -18

b) Подставим x = -20 в исходную функцию: y = ((-20)^2+18*(-20)-18)e^(-20)

Вычисляя данное выражение, получим, что y ≈ 0.0002

Таким образом, получаем, что минимальное значение функции y=(x^2+18x-18)e^x равно -18 при x=0. Ответом на задачу является -18.