Какое значение функции является минимальным: y=15x-15ln(x+11)+4?

Shura

61

Для решения данной задачи нам нужно найти минимальное значение функции \(y = 15x - 15\ln(x+11) + 4\).

Для начала, чтобы найти минимум функции, мы можем использовать производную. Найдем производную от функции \(y\) по переменной \(x\):

\[
\frac{dy}{dx} = 15 - \frac{15}{x+11}
\]

После этого приравняем производную к нулю и решим уравнение относительно \(x\):

\[
15 - \frac{15}{x+11} = 0
\]

Для решения этого уравнения, мы умножим обе части на \((x+11)\):

\[
15(x+11) - 15 = 0
\]

Раскроем скобки:

\[
15x + 165 - 15 = 0
\]

Упростим:

\[
15x + 150 = 0
\]

Вычтем 150 из обеих частей уравнения:

\[
15x = -150
\]

Разделим обе части уравнения на 15:

\[
x = -10
\]

Теперь нам нужно найти соответствующее значение функции \(y\) при \(x = -10\). Подставим \(x = -10\) в исходную функцию:

\[
y = 15(-10) - 15\ln(-10+11) + 4
\]

Вычислим значение натурального логарифма:

\[
y = -150 - 15\ln(1) + 4 = -150 - 15(0) + 4
\]

Так как \(\ln(1) = 0\), то последнее слагаемое равно нулю:

\[
y = -150 + 4 = -146
\]

Итак, минимальное значение функции \(y = 15x - 15\ln(x+11) + 4\) равно -146, при \(x = -10\).