Какое значение имеет масса той планеты, на которой яблоко падает с метрового стола за 0,72 секунды, при условии

Кира

58

Чтобы определить массу данной планеты, мы можем воспользоваться законом всемирного тяготения, который гласит, что сила притяжения между двумя объектами пропорциональна произведению их масс и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними. Формула для расчета притяжения будет следующей:

\[F = \frac{{G \cdot m_1 \cdot m_2}}{{r^2}}\]

где:
- \(F\) - сила притяжения между планетой и яблоком,
- \(G\) - гравитационная постоянная (приблизительно равная \(6.67430 \times 10^{-11} \, \text{м}^3/(\text{кг} \cdot \text{с}^2)\)),
- \(m_1\) - масса планеты,
- \(m_2\) - масса яблока,
- \(r\) - расстояние между планетой и яблоком.

Зная, что сила тяжести является причиной ускорения свободного падения, поэтому она равна массе яблока (\(m_2\)) умноженной на ускорение свободного падения \(g\):

\[F = m_2 \cdot g\]

Мы также знаем, что яблоко падает с метрового стола за 0,72 секунды. В таком случае, время падения (\(t\)) является временем свободного падения, которое равно 0,72 секунды. Ускорение свободного падения можно выразить следующей формулой:

\[g = \frac{{2 \cdot h}}{{t^2}}\]

где:
- \(h\) - высота падения.

В нашем случае \(h\) равно одному метру. Поэтому:

\[g = \frac{{2 \cdot 1}}{{0,72^2}}\]

Подставив значение ускорения \(g\) в формулу \(F = m_2 \cdot g\) и сравнив с формулой для силы тяжести, мы можем найти массу \(m_1\) планеты:

\[m_1 = \frac{{F \cdot r^2}}{{G}}\]

Осталось найти значение длины экватора планеты. Исходя из условия, длина экватора равна 21327 километрам, что в метрах будет 21327000 метров.

Теперь, объединив выражения для массы планеты, силы притяжения и ускорения свободного падения, мы можем найти ответ на задачу:

\[m_1 = \frac{{m_2 \cdot g \cdot r^2}}{{G}} = \frac{{m_2 \cdot \frac{{2 \cdot h}}{{t^2}} \cdot r^2}}{{G}}\]

Подставим известные значения:

\[m_1 = \frac{{1 \cdot \frac{{2 \cdot 1}}{{0,72^2}} \cdot (21327000^2)}}{{6.67430 \times 10^{-11}}}\]