Какое значение k необходимо для выполнения равенства b = ka при условии, что векторы а и b противоположны?

Викторович

36

Чтобы найти значение k, при котором векторы a и b являются противоположными, нам нужно выполнить условие, что b = -a. Давайте подробно разберем, как это сделать:

Распишем заданное равенство: b = ka.

Теперь, давайте вспомним, что вектор является противоположным, если все его компоненты имеют противоположные знаки. Другими словами, если у нас есть вектор a = (a₁, a₂, ..., aₙ), то его противоположный вектор -a будет иметь компоненты (-a₁, -a₂, ..., -aₙ).

Таким образом, чтобы векторы a и b были противоположными, мы должны обратить знак каждой компоненты вектора a и затем решить уравнение b = ka.

Имеем: b = (-a₁, -a₂, ..., -aₙ) и b = (b₁, b₂, ..., bₙ).

Теперь подставим эти значения в уравнение и приравняем соответствующие компоненты:

- a₁ = kb₁,
- a₂ = kb₂,
- ...,
- aₙ = kbₙ.

Теперь нам нужно найти значение k, при котором выполняются все эти уравнения одновременно.

Возьмем любое из уравнений (например, первое) и разделим его на соответствующую компоненту вектора b:

\(\frac{a₁}{b₁} = \frac{k \cdot b₁}{b₁}\).

Сократим b₁ от обеих частей уравнения:

\(\frac{a₁}{b₁} = k\).

Таким образом, значение k равно отношению компоненты a₁ к компоненте b₁. Вы можете использовать эту формулу для определения значения k для всех остальных компонент.

Например, если вам даны следующие векторы:
a = (2, -3, 4),
b = (-4, 6, -8).

Вы можете использовать значение k для каждой компоненты, чтобы убедиться, что они противоположны.

Для первой компоненты:
k = \(\frac{a₁}{b₁} = \frac{2}{-4} = -0.5\).

Для второй компоненты:
k = \(\frac{a₂}{b₂} = \frac{-3}{6} = -0.5\).

Для третьей компоненты:
k = \(\frac{a₃}{b₃} = \frac{4}{-8} = -0.5\).

Поэтому, значение k равно -0.5, чтобы векторы а и b были противоположными.