Какое значение m необходимо найти, чтобы прямые x+2/2=y/-3=z-1/4 и x-3/m=y-1/4=z-7/2 пересекались? Необходимо решить

Magnitnyy_Pirat

40

Чтобы найти значение переменной \( m \), при котором прямые пересекаются, нам необходимо решить систему уравнений, составленную из уравнений прямых. Давайте это сделаем по шагам.

Первая прямая задана уравнением:
\[ \frac{{x+2}}{{2}} = \frac{{y}}{{-3}} = \frac{{z-1}}{{4}} \]

Вторая прямая задана уравнением:
\[ \frac{{x-3}}{{m}} = \frac{{y-1}}{{4}} = \frac{{z-7}}{{2}} \]

Давайте найдем значения каждой переменной через промежуточные выражения.

Пусть \( t \) - общее значение всех этих выражений.

Для первой прямой:
\[ x+2 = -\frac{3t}{2} \Rightarrow x = -\frac{3t}{2} - 2 \]
\[ y = -\frac{9t}{2} \]
\[ z-1 = \frac{2t}{3} \Rightarrow z = \frac{2t}{3} + 1 \]

Для второй прямой:
\[ x-3 = \frac{4t}{m} \Rightarrow x = \frac{4t}{m} + 3 \]
\[ y-1 = \frac{4t}{4} \Rightarrow y = 4t + 1 \]
\[ z-7 = 2t \Rightarrow z = 2t + 7 \]

Теперь, чтобы найти значение \( m \), при котором прямые пересекаются, мы должны приравнять выражения для \( x \), \( y \) и \( z \) для обеих прямых:

\[
\begin{align*}
-\frac{3t}{2} - 2 &= \frac{4t}{m} + 3 \\
-\frac{9t}{2} &= 4t + 1 \\
\frac{2t}{3} + 1 &= 2t + 7
\end{align*}
\]

Решим эту систему уравнений.

Из первого уравнения:
\[ -\frac{3t}{2} - 2 - \frac{4t}{m} = 3 \]
\[ -\frac{3t}{2} - \frac{4t}{m} = 5 \]
\[ -\frac{3mt + 8t}{2m} = 5 \]
\[ -3mt - 8t = 10m \]
\[ -t(3m + 8) = 10m \]

Из второго уравнения:
\[ -\frac{9t}{2} - 4t = 1 \]
\[ -4t - \frac{9t}{2} = 1 \]
\[ -8t - 9t = 2 \]
\[ -17t = 2 \]

Из третьего уравнения:
\[ \frac{2t}{3} + 1 - 2t = 7 \]
\[ \frac{2t}{3} - 2t = 6 \]
\[ \frac{2t - 6t}{3} = 6 \]
\[ -4t = 18 \]

Теперь, используя последнее уравнение, мы можем найти значение \( t \):

\[ t = \frac{18}{-4} = -\frac{9}{2} \]

Подставим это значение в первое уравнение:
\[ -t(3m + 8) = 10m \]
\[ -\left(-\frac{9}{2}\right)(3m + 8) = 10m \]
\[ \frac{9}{2}(3m + 8) = 10m \]
\[ 27m + 72 = 20m \]
\[ 27m - 20m = -72 \]
\[ 7m = -72 \]
\[ m = -\frac{72}{7} \]

Итак, значение \( m \), при котором прямые пересекаются, равно \( -\frac{72}{7} \).