Какое значение m сделает векторы а(1; -2; 3) и c(7; m; 21) коллинеарными и перпендикулярными?

Maksimovich

68

Чтобы векторы а и c были коллинеарными, их должен быть одинаковый направляющий вектор. Это означает, что когда мы умножаем каждую компоненту вектора а на одно и то же число, мы должны получить соответствующие компоненты вектора с. Рассмотрим произвольное число k и умножим каждую компоненту вектора а на него:

\[ k \cdot a = (k \cdot 1, k \cdot (-2), k \cdot 3) = (k, -2k, 3k) \]

Теперь сравним получившиеся компоненты с компонентами вектора с. Из условия коллинеарности они должны быть равными:

\[
\begin{cases}
k = 7 \\
-2k = m \\
3k = 21
\end{cases}
\]

Решим эту систему уравнений. Сначала найдем значение k, подставим его во второе уравнение и найдем m:

\[
\begin{cases}
k = 7 \\
-2 \cdot 7 = m \\
3 \cdot 7 = 21
\end{cases}
\]

Получаем:

\[
\begin{cases}
k = 7 \\
m = -14 \\
21 = 21
\end{cases}
\]

Таким образом, значение m, при котором векторы а(1; -2; 3) и c(7; m; 21) будут коллинеарными, равно -14.

Чтобы векторы а и c были перпендикулярными, их скалярное произведение должно быть равно нулю:

\[ a \cdot c = 1 \cdot 7 + (-2) \cdot (-14) + 3 \cdot 21 = 7 + 28 + 63 = 98 \]

Таким образом, для того чтобы векторы а(1; -2; 3) и c(7; m; 21) были коллинеарными и перпендикулярными, значение m должно быть -14, а скалярное произведение векторов должно быть равно 0.