Какое значение нужно присвоить параметру m, чтобы минимизировать сумму квадратов действительных корней уравнения

Anzhela

70

Для того чтобы минимизировать сумму квадратов действительных корней уравнения \(2x^2 - 4(m-4)x - m + 7 = 0\), нам необходимо использовать дискриминант \(D\) этого уравнения.

1. Начнем с общей формулы дискриминанта. Для уравнения вида \(ax^2 + bx + c = 0\) дискриминант \(D\) вычисляется по формуле \(D = b^2 - 4ac\).

2. Распишем и подставим значения для нашего уравнения:
\[D = (-4(m-4))^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-m+7)\]
\[D = 16(m-4)^2 + 8(7-m)\]

3. Чтобы минимизировать сумму квадратов действительных корней, нам необходимо найти такое значение параметра \(m\), при котором дискриминант будет минимальным. В этом случае уравнение будет иметь два одинаковых действительных корня.

4. Чтобы найти значение параметра \(m\), при котором дискриминант минимален, мы возьмем производную \(D\) по переменной \(m\) и найдем такое значение \(m\), при котором производная равна нулю.

5. Найдем производную \(D\) по \(m\):
\[\frac{{dD}}{{dm}} = 32(m-4) + 8(-1) = 32m - 128 - 8 = 32m - 136\]

6. Теперь приравняем производную к нулю и решим получившееся уравнение:
\[32m - 136 = 0\]
\[32m = 136\]
\[m = \frac{{136}}{{32}}\]
\[m = 4.25\]

Итак, чтобы минимизировать сумму квадратов действительных корней уравнения \(2x^2 - 4(m-4)x - m + 7 = 0\), нужно присвоить параметру \(m\) значение \(4.25\).