Какое значение получится при умножении наименьшего корня (в градусах) на количество различных корней уравнения 1

Космическая_Звезда_8346

18

Для начала, найдем корни данного уравнения.
Перенесем все слагаемые на одну сторону уравнения:
1 - sin 4x = (cos 3x - sin 3x)^2

Раскроем квадрат справа:
1 - sin 4x = cos^2 3x - 2sin 3x cos 3x + sin^2 3x

Заметим, что sin^2 3x + cos^2 3x = 1 по тригонометрическому тождеству. Используем это тождество:
1 - sin 4x = 1 - 2sin 3x cos 3x + sin^2 3x

Теперь перенесем все слагаемые на одну сторону уравнения:
0 = 2sin 3x cos 3x - sin 4x + sin^2 3x

Дальше, приведем подобные слагаемые и упростим выражение:
0 = sin 3x (2cos 3x + sin 3x) - sin 4x

Теперь, рассмотрим пределы значений переменных на интервале (-36°; 360°).
Найдем значения \(sin 3x\) и \(cos 3x\) для стартовой и конечной точек интервала.

1. Для стартовой точки (-36°):
\(sin 3(-36°) = sin (-108°) = -0.8660\)
\(cos 3(-36°) = cos (-108°) = 0.5\)

2. Для конечной точки (360°):
\(sin 3(360°) = sin 1080° = 0\)
\(cos 3(360°) = cos 1080° = 1\)

Теперь, зная значения \(sin 3x\) и \(cos 3x\) на интервале, можем определить значения выражений \(2cos 3x + sin 3x\) и \(sin 4x\).

1. Для стартовой точки (-36°):
\(2cos 3(-36°) + sin 3(-36°) = 2(0.5) + (-0.8660) = 0.1339\)
\(sin 4(-36°) = sin (-144°) = -0.5740\)

2. Для конечной точки (360°):
\(2cos 3(360°) + sin 3(360°) = 2(1) + 0 = 2\)
\(sin 4(360°) = sin 1440° = 0.7470\)

Теперь, найдем количество различных корней уравнения на интервале.

Мы знаем, что уравнение имеет корень, когда его значение равно нулю.
Таким образом, для нахождения количества корней, нужно рассмотреть интервалы на которых уравнение принимает нулевое значение и определить, сколько таких интервалов.

Помним, что для нахождения корня можно использовать формулу \(4x = \sin^{-1}(0)\)

1. Для стартовой точки (-36°):
\(4x = \sin^{-1}(0) = 0°\)
\(x = \frac{0°}{4} = 0°\)

2. Для конечной точки (360°):
\(4x = \sin^{-1}(0) = 0°\)
\(x = \frac{0°}{4} = 0°\)

Таким образом, на интервале (-36°; 360°) уравнение имеет один корень, равный 0°.

Теперь, у нас есть два значения: \(0.1339\) и \(0°\).
Чтобы найти значение, получаемое при умножении наименьшего корня на количество различных корней, умножим \(0.1339\) на 1 (так как у нас только один корень).

Ответ: Значение, получаемое при умножении наименьшего корня (в градусах) на количество различных корней уравнения 1 - sin 4x =(cos 3x - sin 3x)^2 на интервале (-36°;360°) равно \(0.1339\).