Какое значение принимает функция y=2x+288/x +14 наименьшее на интервале (0.5;25)?

Ягуар

63

Для решения этой задачи нам нужно найти минимальное значение функции \(y = 2x + \frac{288}{x} + 14\) на интервале от 0.5 до 25.

Шаг 1: Найдем производную функции \(y\) по переменной \(x\). Для этого дифференцируем каждое слагаемое по отдельности:
\[
\frac{d}{dx} (2x) = 2,
\]
\[
\frac{d}{dx} \left( \frac{288}{x} \right) = -\frac{288}{x^2}.
\]

Шаг 2: Зная производные, найдем точки, где производная равна нулю или не существует. Это могут быть точки экстремума функции.
Так как производная трехчастной функции \(y\) равна сумме производных слагаемых, мы можем приравнять её к нулю:
\[
2 - \frac{288}{x^2} = 0.
\]

Шаг 3: Решим получившееся уравнение. Умножим обе части уравнения на \(x^2\), чтобы избавиться от знаменателя:
\[
2x^2 - 288 = 0.
\]

Далее, придавим к единичке коэффициент перед \(x^2\) и решим получившееся квадратное уравнение:
\[
x^2 - 144 = 0.
\]

Получим два возможных значения \(x\):
\[
x_1 = \sqrt{144} = 12,
\]
\[
x_2 = -\sqrt{144} = -12.
\]

Шаг 4: Ответим на вопрос задачи, указав наиболее подходящую точку на интервале (0.5; 25).

Учитывая, что интервал (0.5; 25) ограничен положительными числами, мы получаем, что \(x_1 = 12\) находится в данном интервале.
Теперь мы можем найти значение функции \(y\) при \(x = 12\):
\[
y = 2 \cdot 12 + \frac{288}{12} + 14 = 24 + 24 + 14 = 62.
\]

Таким образом, минимальное значение функции \(y = 2x + \frac{288}{x} + 14\) на интервале (0.5; 25) равно 62, и оно достигается при \(x = 12\).