Какое значение x приведет к тому, что значения выражений x + 1, x + 5 и 2x + 4 станут последовательными членами

Luna

15

Адресуемому школьнику. Чтобы найти значение x, при котором значения выражений \(x+1\), \(x+5\) и \(2x+4\) станут последовательными членами геометрической прогрессии, нам нужно следовать нескольким шагам.

Шаг 1: Проверим, что значения образуют геометрическую прогрессию.
Для этого мы должны убедиться, что отношение каждого члена к предыдущему члену одинаково. В нашем случае, отношение между членами будет равно:
\(\frac{{x+5}}{{x+1}} = \frac{{2x+4}}{{x+5}}\)

Шаг 2: Упростим уравнение и решим его.
Умножим числитель и знаменатель правой дроби на \(x+1\), а числитель и знаменатель левой дроби на \(x+5\), чтобы устранить дроби в уравнении:
\(\frac{{(x+5)(x+1)}}{{(x+1)(x+5)}} = \frac{{(2x+4)(x+1)}}{{(x+5)(x+1)}}\)
После упрощения получим:
\(\frac{{x^2+6x+5}}{{x^2+6x+5}} = \frac{{2x^2+6x+4}}{{x^2+6x+5}}\)

По определению, числители и знаменатели обеих сторон этого уравнения равны между собой, за исключением случая, когда знаменатель равен нулю. Поскольку знаменатель \(x^2+6x+5\) не может быть равен нулю (это квадратное уравнение не имеет корней), можем сократить дроби, и получим:
\(x^2+6x+5 = 2x^2+6x+4\)

Далее, вычтем \(2x^2\) и \(6x\) из обеих сторон уравнения:
\(0 = x^2-1\)

Шаг 3: Найдем значения \(x\), которые удовлетворяют уравнению.
Для этого мы должны решить квадратное уравнение \(x^2-1=0\). Решением этого уравнения являются значения \(x\), при которых левая сторона равна нулю. Применим формулу решения квадратных уравнений:
\(x = \pm \sqrt{1}\)

Таким образом, значения \(x\), при которых данные выражения образуют геометрическую прогрессию, являются положительными корнями уравнения \(x^2-1=0\). Эти значения равны:
\[x_1 = 1\]
\[x_2 = -1\]

Теперь, чтобы найти члены геометрической прогрессии, подставим каждое значение \(x\) в выражения \(x + 1\), \(x + 5\) и \(2x + 4\). Учитывая ограничение, что первый член должен быть положительным, выбираем только \(x_1 = 1\). Тогда, члены прогрессии будут:
\(x + 1 = 1 + 1 = 2\)
\(x + 5 = 1 + 5 = 6\)
\(2x + 4 = 2 \cdot 1 + 4 = 6\)

Таким образом, когда \(x = 1\), значения выражений \(x + 1\), \(x + 5\) и \(2x + 4\) образуют последовательные члены геометрической прогрессии, где первый член равен 2, второй член равен 6, а третий член равен 6.