Какое значение x приведет к тому, что значения выражений x + 1, x + 5 и 2x + 4 станут последовательными членами

Luna

15

Адресуемому школьнику. Чтобы найти значение x, при котором значения выражений $x+1$, $x+5$ и $2x+4$ станут последовательными членами геометрической прогрессии, нам нужно следовать нескольким шагам.

Шаг 1: Проверим, что значения образуют геометрическую прогрессию.
Для этого мы должны убедиться, что отношение каждого члена к предыдущему члену одинаково. В нашем случае, отношение между членами будет равно:
$\frac{x+5}{x+1}=\frac{2x+4}{x+5}$

Шаг 2: Упростим уравнение и решим его.
Умножим числитель и знаменатель правой дроби на $x+1$, а числитель и знаменатель левой дроби на $x+5$, чтобы устранить дроби в уравнении:
$\frac{(x+5)(x+1)}{(x+1)(x+5)}=\frac{(2x+4)(x+1)}{(x+5)(x+1)}$
После упрощения получим:
$\frac{x^2+6x+5}{x^2+6x+5}=\frac{2x^2+6x+4}{x^2+6x+5}$

По определению, числители и знаменатели обеих сторон этого уравнения равны между собой, за исключением случая, когда знаменатель равен нулю. Поскольку знаменатель $x^2+6x+5$ не может быть равен нулю (это квадратное уравнение не имеет корней), можем сократить дроби, и получим:
$x^2+6x+5=2x^2+6x+4$

Далее, вычтем $2x^2$ и $6x$ из обеих сторон уравнения:
$0=x^2-1$

Шаг 3: Найдем значения $x$, которые удовлетворяют уравнению.
Для этого мы должны решить квадратное уравнение $x^2-1=0$. Решением этого уравнения являются значения $x$, при которых левая сторона равна нулю. Применим формулу решения квадратных уравнений:
$x=\pm \sqrt{1}$

Таким образом, значения $x$, при которых данные выражения образуют геометрическую прогрессию, являются положительными корнями уравнения $x^2-1=0$. Эти значения равны:
$$x_1=1$$
$$x_2=-1$$

Теперь, чтобы найти члены геометрической прогрессии, подставим каждое значение $x$ в выражения $x+1$, $x+5$ и $2x+4$. Учитывая ограничение, что первый член должен быть положительным, выбираем только $x_1=1$. Тогда, члены прогрессии будут:
$x+1=1+1=2$
$x+5=1+5=6$
$2x+4=2\cdot 1+4=6$

Таким образом, когда $x=1$, значения выражений $x+1$, $x+5$ и $2x+4$ образуют последовательные члены геометрической прогрессии, где первый член равен 2, второй член равен 6, а третий член равен 6.