Яким чином можна спростити вираз (2x^2+x-6)/(4x-8)?

Заблудший_Астронавт

3

Чтобы спростить данный вираз, нам понадобится применить операцию деления полиномов. Давайте разберемся пошагово.

Шаг 1: Проверим, можно ли сократить числитель и знаменатель на какое-то число. В нашем случае, оба числа 2x^2 и 4x являются кратными двум, поэтому мы можем сократить их на 2:
\[\frac{2x^2+x-6}{4x-8} = \frac{\cancel{2}(x^2+\frac{1}{2}x-3)}{\cancel{2}(2x-4)}\]

Теперь у нас имеется более простой вираз.

Шаг 2: Мы можем разложить числитель на множители и посмотреть, можно ли еще сократить:

\(x^2+\frac{1}{2}x-3\)

Мы можем записать данный квадратный трехчлен в виде произведения двух линейных множителей, используя метод разложения на множители. Для этого мы должны найти два числа, сумма которых равна коэффициенту при \(x\) (в данном случае, \(\frac{1}{2}\)), а произведение равно произведению коэффициента при \(x^2\) (в данном случае, 1) и константы (-3). Давайте найдем эти числа.

Мы знаем, что \(a \cdot b = -3\) и \(a + b = \frac{1}{2}\).

Попробуем различные комбинации чисел, чтобы найти подходящие значения. Например, \(a = -2\) и \(b = \frac{3}{2}\):

\((-2) \cdot \frac{3}{2} = -3\) и \((-2) + \frac{3}{2} = \frac{1}{2}\)

Теперь мы можем записать наш числитель в виде произведения множителей:

\(x^2+\frac{1}{2}x-3 = (x-2)(x+\frac{3}{2})\)

Возвращаясь к изначальной задаче, теперь у нас имеется:

\[\frac{(x-2)(x+\frac{3}{2})}{2(2x-4)}\]

Мы видим, что первый множитель \(x-2\) сокращается с знаменателем \(2x-4\):

\[\frac{\cancel{(x-2)}(x+\frac{3}{2})}{2 \cdot \cancel{(2x-4)}}\]

Результирующий вираз после сокращения:

\[\frac{x+\frac{3}{2}}{2}\]

Таким образом, мы спростили исходный вираз \(\frac{2x^2+x-6}{4x-8}\) и получили упрощенный вид \(\frac{x+\frac{3}{2}}{2}\).