Какое значение x соответствует точке M1(3;у), являющейся образом точки M(x;-5) при гомотетии с центром в точке Z(2;3

Петр

67

Чтобы найти значение \(x\), соответствующее точке \(M_1(3; y)\), которая является образом точки \(M(x;-5)\) при гомотетии с центром в точке \(Z(2; 3)\) и коэффициентом масштабирования \(k = 2\), мы можем использовать свойство гомотетии.

Гомотетия - это преобразование, при котором все точки плоскости располагаются по прямым линиям, параллельным прямой проходящей через центр гомотетии. Отношение подобия двух отрезков, соединяющих соответствующие точки гомотетии, равно коэффициенту масштабирования \(k\).

Для нахождения значения \(x\), мы можем использовать соотношение между координатами точек. При гомотетии, отношение подобия отрезков \(M_1Z\) и \(MZ\) должно быть равно коэффициенту масштабирования:

\[\frac{{M_1Z}}{{MZ}} = k\]

Для начала найдем длины отрезков \(M_1Z\) и \(MZ\):

\[M_1Z = \sqrt{{(x - 2)^2 + (y - 3)^2}}\]
\[MZ = \sqrt{{(x - 2)^2 + (-5 - 3)^2}}\]

Подставим известные значения и продолжим вычисления:

\[\frac{{\sqrt{{(x - 2)^2 + (y - 3)^2}}}}{{\sqrt{{(x - 2)^2 + (-5 - 3)^2}}}} = k\]

Упростим уравнение, возводя обе части в квадрат:

\[(x - 2)^2 + (y - 3)^2 = k^2 \cdot [(x - 2)^2 + (-5 - 3)^2]\]

Теперь нам нужно решить уравнение для \(x\), используя известные значения \(y = у\) и \(k = 2\). Раскроем скобки и упростим уравнение:

\[x^2 - 4x + 4 + (y - 3)^2 = 4 \cdot (x^2 - 4x + 4 + 64)\]

\[x^2 - 4x + (y - 3)^2 = 4x^2 - 16x + 280\]

\[0 = 3x^2 - 12x + (y - 3)^2 - 280\]

Теперь рассмотрим значение \(у\) и подставим его в уравнение. Предположим, что \(у = 7\):

\[0 = 3x^2 - 12x + (7 - 3)^2 - 280\]

\[0 = 3x^2 - 12x + 16 - 280\]

\[0 = 3x^2 - 12x - 264\]

Теперь решим данное уравнение для \(x\). Так как оно является квадратным уравнением, мы можем использовать квадратное уравнение:

\[x = \frac{{-b \pm \sqrt{{b^2 - 4ac}}}}{{2a}}\]

\[x = \frac{{-(-12) \pm \sqrt{{(-12)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-264)}}}}{{2 \cdot 3}}\]

\[x = \frac{{12 \pm \sqrt{{144 + 3168}}}}{{6}}\]

\[x = \frac{{12 \pm \sqrt{{3312}}}}{{6}}\]

Теперь найдем корни квадратного уравнения:

\[x = \frac{{12 \pm 57.4918531}}{{6}}\]

Таким образом, получаем два значения:

\[x_1 = \frac{{12 + 57.4918531}}{{6}} \approx 11.915308\]

\[x_2 = \frac{{12 - 57.4918531}}{{6}} \approx -7.248308\]

Таким образом, значения \(x\) соответствующие точке \(M_1(3; у)\), являющейся образом точки \(M(x;-5)\) при гомотетии с центром в точке \(Z(2;3)\) и коэффициентом масштабирования \(k = 2\), равны: \(x_1 \approx 11.915308\) и \(x_2 \approx -7.248308\).