Необходимо рассчитать общую поверхность правильной четырехугольной пирамиды, если сторона основания равна 8, высота

Поющий_Долгоног

49

Хорошо, чтобы рассчитать общую поверхность правильной четырехугольной пирамиды, нужно учитывать, что она состоит из основания и боковой поверхности.

Давайте начнем с основания пирамиды. У нас есть правильный четырехугольник с длиной стороны 8. Правильный четырехугольник - это такой четырехугольник, у которого все стороны равны, и все углы равны. Его площадь мы можем найти с помощью формулы \(S_{\text{осн}} = a^2\), где \(a\) - длина стороны основания.

Для нашей пирамиды, площадь основания будет \(S_{\text{осн}} = 8^2 = 64\).

Теперь перейдем к боковой поверхности пирамиды. У нас есть высота пирамиды равная 25 и апофема равная 26. Апофема - это отрезок, проведенный из вершины пирамиды к центру основания (перпендикулярно основанию).

Боковая поверхность пирамиды состоит из треугольников. У нас есть 4 треугольника. Площадь одного треугольника можно найти с помощью формулы \(S_{\text{треуг}} = \frac{1}{2} \times \text{основание} \times \text{высота треугольника}\).

Теперь, чтобы найти высоту треугольника, обратимся к понятию прямоугольного треугольника. В нашем случае, высота треугольника - это апофема. Мы знаем, что одно ребро пирамиды - это половина стороны основания, то есть 4. Тогда применяем теорему Пифагора для треугольника с катетами 4 и 26 (половина одной стороны основания и апофема): \[26^2 = 4^2 + \text{высота\_треугольника}^2.\]

Решаем уравнение: \[\text{высота\_треугольника} = \sqrt{26^2 - 4^2} = \sqrt{676 - 16} = \sqrt{660} = 2\sqrt{165}.\]

Теперь, подставляем значения основания и высоты треугольника в формулу площади одного треугольника: \[S_{\text{треуг}} = \frac{1}{2} \times 8 \times 2\sqrt{165} = 8\sqrt{165}.\]

Так как у нас 4 таких треугольника, общая площадь боковой поверхности будет: \[S_{\text{бок}} = 4 \times 8\sqrt{165} = 32\sqrt{165}.\]

И наконец, чтобы найти общую поверхность пирамиды, нужно сложить площадь основания и площадь боковой поверхности: \[S_{\text{общ}} = S_{\text{осн}} + S_{\text{бок}} = 64 + 32\sqrt{165}.\]

Таким образом, общая поверхность правильной четырехугольной пирамиды равна \(64 + 32\sqrt{165}\).