Какое значение x удовлетворяет неравенству: x^2-3x-28/ 3х меньше или равно?

Antonovna

30

Для решения данной задачи, нам нужно найти значение x, которое удовлетворяет неравенству \(\frac{{x^2 - 3x - 28}}{{3x}} \leq 0\).

Для начала, давайте приведем неравенство к более простому виду. Умножим обе части неравенства на 3x, чтобы избавиться от знаменателя:

\(x^2 - 3x - 28 \leq 0\)

Теперь посмотрим на получившееся квадратное уравнение. Мы можем решить его с помощью факторизации или используя квадратное уравнение. В данном случае я воспользуюсь вторым способом.

Для начала, давайте запишем уравнение в общем виде: \(ax^2 + bx + c = 0\), где в нашем случае \(a = 1\), \(b = -3\) и \(c = -28\).

Теперь воспользуемся формулой для нахождения корней квадратного уравнения:

\[x = \frac{{-b \pm \sqrt{{b^2 - 4ac}}}}{{2a}}\]

Подставим значения коэффициентов:

\[x = \frac{{-(-3) \pm \sqrt{{(-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-28)}}}}{{2 \cdot 1}}\]

Упростим выражение:

\[x = \frac{{3 \pm \sqrt{{9 + 112}}}}{{2}}\]

\[x = \frac{{3 \pm \sqrt{{121}}}}{{2}}\]

\[x = \frac{{3 \pm 11}}{{2}}\]

Теперь рассмотрим два случая:

1. При \(x = \frac{{3 + 11}}{{2}} = 7\) неравенство выполняется:

\(\frac{{7^2 - 3 \cdot 7 - 28}}{{3 \cdot 7}} = \frac{{49 - 21 - 28}}{{21}} = \frac{{0}}{{21}} = 0\)

2. При \(x = \frac{{3 - 11}}{{2}} = -4\) неравенство также выполняется:

\(\frac{{(-4)^2 - 3 \cdot (-4) - 28}}{{3 \cdot (-4)}} = \frac{{16 + 12 - 28}}{{-12}} = \frac{{0}}{{-12}} = 0\)

Таким образом, значениями x, которые удовлетворяют данному неравенству, являются 7 и -4. Это можно записать в виде интервала:

\(-4 \leq x \leq 7\)