Каков будет итоговый размер суммы и средняя процентная ставка, если на сумму в 3000 у.е. начисляются проценты в течение

Snezhka

59

Итак, у нас есть задача о начислении процентов на сумму в течение 14 месяцев с базовой ставкой 7,5% годовых, которая увеличивается на 0,3% каждый месяц, начиная со второго месяца. Мы хотим найти итоговый размер суммы и среднюю процентную ставку.

Для решения этой задачи, мы начнем с вычисления процентных ставок для каждого из 14 месяцев. Поскольку базовая ставка составляет 7,5% годовых, то мы можем разделить ее на 12, чтобы получить ежемесячную ставку:

\(\text{ежемесячная ставка} = \frac{7,5\%}{12} = 0,625\% \)

Для каждого месяца, начиная со второго, мы будем увеличивать ставку на 0,3%.

Теперь у нас есть все необходимые данные для вычисления итогового размера суммы. Мы можем использовать формулу для вычисления суммы по сложным процентам:

\(\text{итоговый размер суммы} = \text{начальная сумма} \times (1 + \text{ежемесячная ставка})^{14} \)

Подставляя значения, получаем:

\(\text{итоговый размер суммы} = 3000 \times (1 + 0,00625)^{14} \)

Вычисляя данное выражение получаем итоговый размер суммы равный:

\(\text{итоговый размер суммы} \approx 3154,63 \) у.е.

Теперь перейдем к вычислению средней процентной ставки. Мы можем взять среднее арифметическое всех процентных ставок за 14 месяцев.

Для первого месяца процентная ставка равна 7,5% годовых, затем она увеличивается на 0,3% каждый месяц, начиная со второго. Таким образом, средняя процентная ставка будет состоять из суммы всех ставок за 14 месяцев, деленной на 14:

\(\text{средняя процентная ставка} = \frac{7,5 + 0,9 + 1,2 + \ldots + (7,5 + 0,3 \cdot 13)}{14} \)

Упрощаем данное выражение:

\(\text{средняя процентная ставка} = \frac{(7,5 \cdot 14) + (0,3 \cdot (1 + 2 + \ldots + 13))}{14} \)

Чтобы упростить выражение в скобках, мы можем воспользоваться формулой суммы арифметической прогрессии:

\(S = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n) \)

Где \(S\) - сумма, \(n\) - количество элементов, \(a_1\) - первый элемент, \(a_n\) - последний элемент.

Применяя данную формулу, получаем:

\(1 + 2 + \ldots + 13 = \frac{13}{2} \cdot (1 + 13) = \frac{13}{2} \cdot 14 = 91 \)

Возвращаясь к исходному выражению для средней процентной ставки:

\(\text{средняя процентная ставка} = \frac{(7,5 \cdot 14) + (0,3 \cdot 91)}{14} \)

Вычисляя данное выражение получаем среднюю процентную ставку равную:

\(\text{средняя процентная ставка} \approx 7,683 \)%

Итак, итоговый размер суммы составит примерно 3154,63 у.е., а средняя процентная ставка будет около 7,683%.