При каких натуральных значениях m неравенство |2n+4|+m больше чем |3n-3|+|n-1| имеет ровно 2017 натуральных решений?

Солнечный_Смайл

17

Для начала, давайте разберемся с неравенством пошагово.

У нас есть неравенство |2n+4| + m > |3n-3| + |n-1|. Нам нужно найти значения параметра \( m \), при которых это неравенство имеет ровно 2017 натуральных решений.

Шаг 1: Разбор абсолютных значений
Для начала, заметим, что абсолютные значения в неравенстве могут быть раскрыты. Воспользуемся следующими свойствами абсолютных значений:
- Для всех \( a \geq 0 \) выполняется |a| = a
- Для всех \( a < 0 \) выполняется |a| = -a

Используя эти свойства, наше неравенство можно переписать следующим образом:
(2n + 4) + m > (3n - 3) + (n - 1), для n >= 0
-(2n + 4) + m > (3n - 3) + (n - 1), для n < 0

Шаг 2: Упрощение неравенства
Упростим оба неравенства, избавившись от скобок:
2n + 4 + m > 4n - 4,
m > 2n - 8,
-2n - 4 + m > 4n - 4,
m > 6n,

Шаг 3: Решение неравенств
Решим оба неравенства по отдельности. Для этого нам понадобится знать значения \( n \), при которых неравенства становятся равенствами.

Для первого неравенства \( m > 2n - 8 \):
Если \( 2n - 8 > 0 \), то есть \( n > 4 \), то неравенство будет верно для любого значения \( m \), так как любое натуральное число больше нуля.
Если \( 2n - 8 \leq 0 \), то есть \( n \leq 4 \), то неравенство будет верно только для \( m > 2n - 8 \).

Для второго неравенства \( m > 6n \):
Если \( 6n > 0 \), то есть \( n > 0 \), то неравенство будет верно для любого значения \( m \), так как любое натуральное число больше нуля.
Если \( 6n \leq 0 \), то есть \( n \leq 0 \), то неравенство будет верно только для \( m > 6n \).

Шаг 4: Количество решений
Теперь посчитаем сколько натуральных решений есть в каждом случае.

Для первого неравенства, когда \( n > 4 \), неравенство выполняется для любого значения \( m \). То есть количество решений равно бесконечности.

Для второго неравенства, когда \( n \leq 4 \), решения есть только для \( m > 2n - 8 \). Для натуральных значений \( m \) от 0 до 2n - 9 у нас будет ровно \( 2n - 9 + 1 = 2n - 8 \) решений. То есть у нас есть \( 2n - 8 \) решений.

Теперь, чтобы найти значения параметра \( m \), при которых неравенство имеет ровно 2017 натуральных решений, нам нужно рассмотреть второе неравенство.

У нас должно быть точно 2017 решений, тогда неравенство должно быть верным для \( n = 1008 \), иначе количество решений будет больше или меньше 2017.

Подставим \( n = 1008 \) во второе неравенство:
\( m > 6 \cdot 1008 \),
\( m > 6048 \).

Таким образом, все значения \( m \), которые больше 6048, будут удовлетворять условию задачи. Мы знаем, что натуральные числа больше или равные 6049 образуют последовательность 6050, 6051, 6052, ...

Теперь посчитаем сумму всех этих значений:
6049 + 6050 + 6051 + ... = (1 + 2 + 3 + ...) + 6049 = (1 + 2 + 3 + ...) + 6049 + 0 = (1 + 2 + 3 + ...) + 6049 + (0 + 0 + 0 + ...) = (1 + 2 + 3 + ...) + (0 + 0 + 0 + ...).

Известно, что сумма всех натуральных чисел \((1 + 2 + 3 + ...) = \frac{n(n+1)}{2}\), для \( n \geq 1 \). Также известно, что сумма ряда из нулей \((0 + 0 + 0 + ...) \) будет равна 0.

Таким образом, сумма всех значений \( m \) равна \(\frac{1(1+1)}{2} + 6049 + 0 = 1 + 6049 + 0 = 6050\).

Ответ: Сумма всех значений \( m \), при которых неравенство имеет ровно 2017 натуральных решений, равна 6050.